MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Unicode version

Theorem dprdf2 16605
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprdf2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf 16604 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G ) )
4 dprdcntz.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
54feq2d 5648 . 2  |-  ( ph  ->  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  <->  S : I --> (SubGrp `  G ) ) )
63, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   -->wf 5515   ` cfv 5519  SubGrpcsubg 15786   DProd cdprd 16589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-ixp 7367  df-dprd 16591
This theorem is referenced by:  dprdff  16610  dprdffOLD  16616  dprdfid  16621  dprdfinv  16623  dprdfadd  16624  dprdfeq0  16626  dprdfidOLD  16628  dprdfinvOLD  16630  dprdfaddOLD  16631  dprdfeq0OLD  16633  dprdres  16639  dprdss  16640  dprdf1o  16643  dprdf1  16644  subgdprd  16646  dmdprdsplitlem  16648  dmdprdsplitlemOLD  16649  dprdcntz2  16650  dpjlem  16664  dpjcntz  16665  dpjdisj  16666  dpjlsm  16667  dpjf  16670  dpjidcl  16671  dpjlid  16674  dpjghm  16676  dpjghm2  16677  dpjidclOLD  16678  ablfac1c  16686  ablfac1eulem  16687  ablfac1eu  16688  ablfaclem2  16701  ablfaclem3  16702  dchrptlem3  22731
  Copyright terms: Public domain W3C validator