MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Unicode version

Theorem dprdf2 16479
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprdf2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf 16478 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G ) )
4 dprdcntz.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
54feq2d 5542 . 2  |-  ( ph  ->  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  <->  S : I --> (SubGrp `  G ) ) )
63, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369   class class class wbr 4287   dom cdm 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  SubGrpcsubg 15666   DProd cdprd 16463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-ixp 7256  df-dprd 16465
This theorem is referenced by:  dprdff  16484  dprdffOLD  16490  dprdfid  16495  dprdfinv  16497  dprdfadd  16498  dprdfeq0  16500  dprdfidOLD  16502  dprdfinvOLD  16504  dprdfaddOLD  16505  dprdfeq0OLD  16507  dprdres  16513  dprdss  16514  dprdf1o  16517  dprdf1  16518  subgdprd  16520  dmdprdsplitlem  16522  dmdprdsplitlemOLD  16523  dprdcntz2  16524  dpjlem  16538  dpjcntz  16539  dpjdisj  16540  dpjlsm  16541  dpjf  16544  dpjidcl  16545  dpjlid  16548  dpjghm  16550  dpjghm2  16551  dpjidclOLD  16552  ablfac1c  16560  ablfac1eulem  16561  ablfac1eu  16562  ablfaclem2  16575  ablfaclem3  16576  dchrptlem3  22580
  Copyright terms: Public domain W3C validator