MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Unicode version

Theorem dprdf2 16831
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprdf2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf 16830 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G ) )
4 dprdcntz.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
54feq2d 5716 . 2  |-  ( ph  ->  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  <->  S : I --> (SubGrp `  G ) ) )
63, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  SubGrpcsubg 15990   DProd cdprd 16815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-ixp 7467  df-dprd 16817
This theorem is referenced by:  dprdff  16836  dprdffOLD  16842  dprdfid  16847  dprdfinv  16849  dprdfadd  16850  dprdfeq0  16852  dprdfidOLD  16854  dprdfinvOLD  16856  dprdfaddOLD  16857  dprdfeq0OLD  16859  dprdres  16865  dprdss  16866  dprdf1o  16869  dprdf1  16870  subgdprd  16872  dmdprdsplitlem  16874  dmdprdsplitlemOLD  16875  dprdcntz2  16876  dpjlem  16890  dpjcntz  16891  dpjdisj  16892  dpjlsm  16893  dpjf  16896  dpjidcl  16897  dpjlid  16900  dpjghm  16902  dpjghm2  16903  dpjidclOLD  16904  ablfac1c  16912  ablfac1eulem  16913  ablfac1eu  16914  ablfaclem2  16927  ablfaclem3  16928  dchrptlem3  23269
  Copyright terms: Public domain W3C validator