MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Unicode version

Theorem dprdf2 17362
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprdf2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf 17361 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G ) )
4 dprdcntz.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
54feq2d 5703 . 2  |-  ( ph  ->  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  <->  S : I --> (SubGrp `  G ) ) )
63, 5mpbid 212 1  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   -->wf 5567   ` cfv 5571  SubGrpcsubg 16521   DProd cdprd 17346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-ixp 7510  df-dprd 17348
This theorem is referenced by:  dprdff  17368  dprdffOLD  17374  dprdfid  17379  dprdfinv  17381  dprdfadd  17382  dprdfeq0  17384  dprdfidOLD  17386  dprdfinvOLD  17388  dprdfaddOLD  17389  dprdfeq0OLD  17391  dprdres  17397  dprdss  17398  dprdf1o  17401  dprdf1  17402  subgdprd  17404  dmdprdsplitlem  17406  dmdprdsplitlemOLD  17407  dprdcntz2  17408  dpjlem  17422  dpjcntz  17423  dpjdisj  17424  dpjlsm  17425  dpjf  17428  dpjidcl  17429  dpjlid  17432  dpjghm  17434  dpjghm2  17435  dpjidclOLD  17436  ablfac1c  17444  ablfac1eulem  17445  ablfac1eu  17446  ablfaclem2  17459  ablfaclem3  17460  dchrptlem3  23924
  Copyright terms: Public domain W3C validator