Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1o Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dprdf1o 17665
 Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1o.1 DProd
dprdf1o.2
dprdf1o.3
Assertion
Ref Expression
dprdf1o DProd DProd DProd

Proof of Theorem dprdf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3 Cntz Cntz
2 eqid 2451 . . 3
3 eqid 2451 . . 3 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
4 dprdf1o.1 . . . 4 DProd
5 dprdgrp 17637 . . . 4 DProd
64, 5syl 17 . . 3
7 dprdf1o.3 . . . . 5
8 f1of1 5813 . . . . 5
97, 8syl 17 . . . 4
10 dprdf1o.2 . . . . 5
114, 10dprddomcld 17633 . . . 4
12 f1dmex 6763 . . . 4
139, 11, 12syl2anc 667 . . 3
144, 10dprdf2 17639 . . . 4 SubGrp
15 f1of 5814 . . . . 5
167, 15syl 17 . . . 4
17 fco 5739 . . . 4 SubGrp SubGrp
1814, 16, 17syl2anc 667 . . 3 SubGrp
194adantr 467 . . . . 5 DProd
2010adantr 467 . . . . 5
2116adantr 467 . . . . . 6
22 simpr1 1014 . . . . . 6
2321, 22ffvelrnd 6023 . . . . 5
24 simpr2 1015 . . . . . 6
2521, 24ffvelrnd 6023 . . . . 5
26 simpr3 1016 . . . . . 6
279adantr 467 . . . . . . . 8
28 f1fveq 6163 . . . . . . . 8
2927, 22, 24, 28syl12anc 1266 . . . . . . 7
3029necon3bid 2668 . . . . . 6
3126, 30mpbird 236 . . . . 5
3219, 20, 23, 25, 31, 1dprdcntz 17640 . . . 4 Cntz
33 fvco3 5942 . . . . 5
3421, 22, 33syl2anc 667 . . . 4
35 fvco3 5942 . . . . . 6
3621, 24, 35syl2anc 667 . . . . 5
3736fveq2d 5869 . . . 4 Cntz Cntz
3832, 34, 373sstr4d 3475 . . 3 Cntz
3916, 33sylan 474 . . . . . 6
40 imaco 5340 . . . . . . . . 9
417adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
42 dff1o3 5820 . . . . . . . . . . . . 13
4342simprbi 466 . . . . . . . . . . . 12
44 imadif 5658 . . . . . . . . . . . 12
4541, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11
46 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . 13
47 foima 5798 . . . . . . . . . . . . 13
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12
49 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . . . . 15
507, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
51 fnsnfv 5925 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13
5352eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12
5448, 53difeq12d 3552 . . . . . . . . . . 11
5545, 54eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10
5655imaeq2d 5168 . . . . . . . . 9
5740, 56syl5eq 2497 . . . . . . . 8
5857unieqd 4208 . . . . . . 7
5958fveq2d 5869 . . . . . 6 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
6039, 59ineq12d 3635 . . . . 5 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
614adantr 467 . . . . . 6 DProd
6210adantr 467 . . . . . 6
6316ffvelrnda 6022 . . . . . 6
6461, 62, 63, 2, 3dprddisj 17641 . . . . 5 mrClsSubGrp
6560, 64eqtrd 2485 . . . 4 mrClsSubGrp
66 eqimss 3484 . . . 4 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
6765, 66syl 17 . . 3 mrClsSubGrp
681, 2, 3, 6, 13, 18, 38, 67dmdprdd 17631 . 2 DProd
69 rnco2 5342 . . . . . 6
70 forn 5796 . . . . . . . . 9
717, 46, 703syl 18 . . . . . . . 8
7271imaeq2d 5168 . . . . . . 7
73 ffn 5728 . . . . . . . 8 SubGrp
74 fnima 5694 . . . . . . . 8
7514, 73, 743syl 18 . . . . . . 7
7672, 75eqtrd 2485 . . . . . 6
7769, 76syl5eq 2497 . . . . 5
7877unieqd 4208 . . . 4
7978fveq2d 5869 . . 3 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
803dprdspan 17660 . . . 4 DProd DProd mrClsSubGrp
8168, 80syl 17 . . 3 DProd mrClsSubGrp
823dprdspan 17660 . . . 4 DProd DProd mrClsSubGrp
834, 82syl 17 . . 3 DProd mrClsSubGrp
8479, 81, 833eqtr4d 2495 . 2 DProd DProd
8568, 84jca 535 1 DProd DProd DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  cvv 3045   cdif 3401   cin 3403   wss 3404  csn 3968  cuni 4198   class class class wbr 4402  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835  cima 4837   ccom 4838   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  wf1 5579  wfo 5580  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290  c0g 15338  mrClscmrc 15489  cgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  Cntzccntz 16969   DProd cdprd 17625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-cmn 17432  df-dprd 17627 This theorem is referenced by:  dprdf1  17666  ablfaclem2  17719
 Copyright terms: Public domain W3C validator