Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1o Structured version   Unicode version

Theorem dprdf1o 16519
 Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1o.1 DProd
dprdf1o.2
dprdf1o.3
Assertion
Ref Expression
dprdf1o DProd DProd DProd

Proof of Theorem dprdf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3 Cntz Cntz
2 eqid 2441 . . 3
3 eqid 2441 . . 3 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
4 dprdf1o.1 . . . 4 DProd
5 dprdgrp 16479 . . . 4 DProd
64, 5syl 16 . . 3
7 dprdf1o.3 . . . . 5
8 f1of1 5637 . . . . 5
97, 8syl 16 . . . 4
10 dprdf1o.2 . . . . 5
11 reldmdprd 16469 . . . . . . 7 DProd
1211brrelex2i 4876 . . . . . 6 DProd
13 dmexg 6508 . . . . . 6
144, 12, 133syl 20 . . . . 5
1510, 14eqeltrrd 2516 . . . 4
16 f1dmex 6546 . . . 4
179, 15, 16syl2anc 656 . . 3
184, 10dprdf2 16481 . . . 4 SubGrp
19 f1of 5638 . . . . 5
207, 19syl 16 . . . 4
21 fco 5565 . . . 4 SubGrp SubGrp
2218, 20, 21syl2anc 656 . . 3 SubGrp
234adantr 462 . . . . 5 DProd
2410adantr 462 . . . . 5
2520adantr 462 . . . . . 6
26 simpr1 989 . . . . . 6
27 ffvelrn 5838 . . . . . 6
2825, 26, 27syl2anc 656 . . . . 5
29 simpr2 990 . . . . . 6
30 ffvelrn 5838 . . . . . 6
3125, 29, 30syl2anc 656 . . . . 5
32 simpr3 991 . . . . . 6
339adantr 462 . . . . . . . 8
34 f1fveq 5972 . . . . . . . 8
3533, 26, 29, 34syl12anc 1211 . . . . . . 7
3635necon3bid 2641 . . . . . 6
3732, 36mpbird 232 . . . . 5
3823, 24, 28, 31, 37, 1dprdcntz 16482 . . . 4 Cntz
39 fvco3 5765 . . . . 5
4025, 26, 39syl2anc 656 . . . 4
41 fvco3 5765 . . . . . 6
4225, 29, 41syl2anc 656 . . . . 5
4342fveq2d 5692 . . . 4 Cntz Cntz
4438, 40, 433sstr4d 3396 . . 3 Cntz
4520, 39sylan 468 . . . . . 6
46 imaco 5340 . . . . . . . . 9
477adantr 462 . . . . . . . . . . . 12
48 dff1o3 5644 . . . . . . . . . . . . 13
4948simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12
50 imadif 5490 . . . . . . . . . . . 12
5147, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . 11
52 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . 13
53 foima 5622 . . . . . . . . . . . . 13
5447, 52, 533syl 20 . . . . . . . . . . . 12
55 f1ofn 5639 . . . . . . . . . . . . . . 15
567, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
57 fnsnfv 5748 . . . . . . . . . . . . . 14
5856, 57sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13
5958eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . 12
6054, 59difeq12d 3472 . . . . . . . . . . 11
6151, 60eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10
6261imaeq2d 5166 . . . . . . . . 9
6346, 62syl5eq 2485 . . . . . . . 8
6463unieqd 4098 . . . . . . 7
6564fveq2d 5692 . . . . . 6 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
6645, 65ineq12d 3550 . . . . 5 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
674adantr 462 . . . . . 6 DProd
6810adantr 462 . . . . . 6
6920, 27sylan 468 . . . . . 6
7067, 68, 69, 2, 3dprddisj 16483 . . . . 5 mrClsSubGrp
7166, 70eqtrd 2473 . . . 4 mrClsSubGrp
72 eqimss 3405 . . . 4 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
7371, 72syl 16 . . 3 mrClsSubGrp
741, 2, 3, 6, 17, 22, 44, 73dmdprdd 16471 . 2 DProd
75 rnco2 5342 . . . . . 6
76 forn 5620 . . . . . . . . 9
777, 52, 763syl 20 . . . . . . . 8
7877imaeq2d 5166 . . . . . . 7
79 ffn 5556 . . . . . . . 8 SubGrp
80 fnima 5526 . . . . . . . 8
8118, 79, 803syl 20 . . . . . . 7
8278, 81eqtrd 2473 . . . . . 6
8375, 82syl5eq 2485 . . . . 5
8483unieqd 4098 . . . 4
8584fveq2d 5692 . . 3 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
863dprdspan 16514 . . . 4 DProd DProd mrClsSubGrp
8774, 86syl 16 . . 3 DProd mrClsSubGrp
883dprdspan 16514 . . . 4 DProd DProd mrClsSubGrp
894, 88syl 16 . . 3 DProd mrClsSubGrp
9085, 87, 893eqtr4d 2483 . 2 DProd DProd
9174, 90jca 529 1 DProd DProd DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 960   wceq 1364   wcel 1761   wne 2604  cvv 2970   cdif 3322   cin 3324   wss 3325  csn 3874  cuni 4088   class class class wbr 4289  ccnv 4835   cdm 4836   crn 4837  cima 4839   ccom 4840   wfun 5409   wfn 5410  wf 5411  wf1 5412  wfo 5413  wf1o 5414  cfv 5415  (class class class)co 6090  c0g 14374  mrClscmrc 14517  cgrp 15406  SubGrpcsubg 15668  Cntzccntz 15826   DProd cdprd 16465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-cmn 16272  df-dprd 16467 This theorem is referenced by:  dprdf1  16520  ablfaclem2  16577
 Copyright terms: Public domain W3C validator