Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf11OLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdf11OLD 17196
 Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdf11 17189 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0
eldprdiOLD.w
eldprdiOLD.1 DProd
eldprdiOLD.2
eldprdiOLD.3
dprdf11OLD.4
Assertion
Ref Expression
dprdf11OLD g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdf11OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdiOLD.w . . . . 5
2 eldprdiOLD.1 . . . . 5 DProd
3 eldprdiOLD.2 . . . . 5
4 eldprdiOLD.3 . . . . 5
5 eqid 2457 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dprdffOLD 17178 . . . 4
7 ffn 5737 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
9 dprdf11OLD.4 . . . . 5
101, 2, 3, 9, 5dprdffOLD 17178 . . . 4
11 ffn 5737 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3
13 eqfnfv 5982 . . 3
148, 12, 13syl2anc 661 . 2
15 eldprdiOLD.0 . . . 4
16 eqid 2457 . . . . . 6
1715, 1, 2, 3, 4, 9, 16dprdfsubOLD 17194 . . . . 5 g g g
1817simpld 459 . . . 4
1915, 1, 2, 3, 18dprdfeq0OLD 17195 . . 3 g
2017simprd 463 . . . 4 g g g
2120eqeq1d 2459 . . 3 g g g
22 reldmdprd 17154 . . . . . . . . 9 DProd
2322brrelex2i 5050 . . . . . . . 8 DProd
24 dmexg 6730 . . . . . . . 8
252, 23, 243syl 20 . . . . . . 7
263, 25eqeltrrd 2546 . . . . . 6
27 fvex 5882 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 fvex 5882 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
316feqmptd 5926 . . . . . 6
3210feqmptd 5926 . . . . . 6
3326, 28, 30, 31, 32offval2 6555 . . . . 5
3433eqeq1d 2459 . . . 4
35 ovex 6324 . . . . . . 7
3635rgenw 2818 . . . . . 6
37 mpteqb 5971 . . . . . 6
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5
39 dprdgrp 17164 . . . . . . . . 9 DProd
402, 39syl 16 . . . . . . . 8
4140adantr 465 . . . . . . 7
426ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
4310ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
445, 15, 16grpsubeq0 16250 . . . . . . 7
4541, 42, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . 6
4645ralbidva 2893 . . . . 5
4738, 46syl5bb 257 . . . 4
4834, 47bitrd 253 . . 3
4919, 21, 483bitr3d 283 . 2 g g
505dprdssv 17182 . . . 4 DProd
5115, 1, 2, 3, 4eldprdiOLD 17191 . . . 4 g DProd
5250, 51sseldi 3497 . . 3 g
5315, 1, 2, 3, 9eldprdiOLD 17191 . . . 4 g DProd
5450, 53sseldi 3497 . . 3 g
555, 15, 16grpsubeq0 16250 . . 3 g g g g g g
5640, 52, 54, 55syl3anc 1228 . 2 g g g g
5714, 49, 563bitr2rd 282 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   cdm 5008  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537  cixp 7488  cfn 7535  cbs 14643  c0g 14856   g cgsu 14857  cgrp 16179  csg 16181   DProd cdprd 17150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-cmn 16926  df-dprd 17152 This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlemOLD  17211  dpjeqOLD  17241
 Copyright terms: Public domain W3C validator