Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf11 Structured version   Unicode version

Theorem dprdf11 16853
 Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w finSupp
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdf11.4
Assertion
Ref Expression
dprdf11 g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdf11
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . 5 finSupp
2 eldprdi.1 . . . . 5 DProd
3 eldprdi.2 . . . . 5
4 eldprdi.3 . . . . 5
5 eqid 2467 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dprdff 16836 . . . 4
7 ffn 5729 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
9 dprdf11.4 . . . . 5
101, 2, 3, 9, 5dprdff 16836 . . . 4
11 ffn 5729 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3
13 eqfnfv 5973 . . 3
148, 12, 13syl2anc 661 . 2
15 eldprdi.0 . . . 4
16 eqid 2467 . . . . . 6
1715, 1, 2, 3, 4, 9, 16dprdfsub 16851 . . . . 5 g g g
1817simpld 459 . . . 4
1915, 1, 2, 3, 18dprdfeq0 16852 . . 3 g
2017simprd 463 . . . 4 g g g
2120eqeq1d 2469 . . 3 g g g
22 reldmdprd 16819 . . . . . . . . 9 DProd
2322brrelex2i 5040 . . . . . . . 8 DProd
24 dmexg 6712 . . . . . . . 8
252, 23, 243syl 20 . . . . . . 7
263, 25eqeltrrd 2556 . . . . . 6
27 fvex 5874 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 fvex 5874 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
316feqmptd 5918 . . . . . 6
3210feqmptd 5918 . . . . . 6
3326, 28, 30, 31, 32offval2 6538 . . . . 5
3433eqeq1d 2469 . . . 4
35 ovex 6307 . . . . . . 7
3635rgenw 2825 . . . . . 6
37 mpteqb 5962 . . . . . 6
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5
39 dprdgrp 16829 . . . . . . . . 9 DProd
402, 39syl 16 . . . . . . . 8
4140adantr 465 . . . . . . 7
426ffvelrnda 6019 . . . . . . 7
4310ffvelrnda 6019 . . . . . . 7
445, 15, 16grpsubeq0 15925 . . . . . . 7
4541, 42, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . 6
4645ralbidva 2900 . . . . 5
4738, 46syl5bb 257 . . . 4
4834, 47bitrd 253 . . 3
4919, 21, 483bitr3d 283 . 2 g g
505dprdssv 16846 . . . 4 DProd
5115, 1, 2, 3, 4eldprdi 16848 . . . 4 g DProd
5250, 51sseldi 3502 . . 3 g
5315, 1, 2, 3, 9eldprdi 16848 . . . 4 g DProd
5450, 53sseldi 3502 . . 3 g
555, 15, 16grpsubeq0 15925 . . 3 g g g g g g
5640, 52, 54, 55syl3anc 1228 . 2 g g g g
5714, 49, 563bitr2rd 282 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  crab 2818  cvv 3113   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cdm 4999   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cof 6520  cixp 7466   finSupp cfsupp 7825  cbs 14486  c0g 14691   g cgsu 14692  cgrp 15723  csg 15726   DProd cdprd 16815 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-cmn 16596  df-dprd 16817 This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  16874  dpjeq  16898
 Copyright terms: Public domain W3C validator