MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1 Structured version   Unicode version

Theorem dprdf1 17292
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdf1.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdf1.3  |-  ( ph  ->  F : J -1-1-> I
)
Assertion
Ref Expression
dprdf1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  o.  F )  /\  ( G DProd  ( S  o.  F ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )

Proof of Theorem dprdf1
StepHypRef Expression
1 dprdf1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dprdf1.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : J -1-1-> I
)
4 f1f 5720 . . . . . . . 8  |-  ( F : J -1-1-> I  ->  F : J --> I )
5 frn 5676 . . . . . . . 8  |-  ( F : J --> I  ->  ran  F  C_  I )
63, 4, 53syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  I
)
71, 2, 6dprdres 17287 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ran  F )  /\  ( G DProd  ( S  |` 
ran  F ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
87simpld 457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |` 
ran  F ) )
91, 2dprdf2 17252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
109, 6fssresd 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  ran  F
) : ran  F --> (SubGrp `  G ) )
11 fdm 5674 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  ran  F ) : ran  F --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  ran  F
)  =  ran  F
)
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  ran  F )  =  ran  F )
13 f1f1orn 5766 . . . . . 6  |-  ( F : J -1-1-> I  ->  F : J -1-1-onto-> ran  F )
143, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : J -1-1-onto-> ran  F
)
158, 12, 14dprdf1o 17291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F )  /\  ( G DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F ) )  =  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) ) )
1615simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F ) )
17 ssid 3460 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
ran  F
18 cores 5447 . . . 4  |-  ( ran 
F  C_  ran  F  -> 
( ( S  |`  ran  F )  o.  F
)  =  ( S  o.  F ) )
1917, 18ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F )  =  ( S  o.  F
)
2016, 19syl6breq 4433 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  o.  F ) )
2119oveq2i 6245 . . . 4  |-  ( G DProd 
( ( S  |`  ran  F )  o.  F
) )  =  ( G DProd  ( S  o.  F ) )
2215simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F ) )  =  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) )
2321, 22syl5eqr 2457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  o.  F ) )  =  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) )
247simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) 
C_  ( G DProd  S
) )
2523, 24eqsstrd 3475 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  o.  F ) ) 
C_  ( G DProd  S
) )
2620, 25jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  o.  F )  /\  ( G DProd  ( S  o.  F ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   ran crn 4943    |` cres 4944    o. ccom 4946   -->wf 5521   -1-1->wf1 5522   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6234  SubGrpcsubg 16411   DProd cdprd 17236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-gim 16523  df-cntz 16571  df-oppg 16597  df-cmn 17016  df-dprd 17238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator