MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddomprc Structured version   Unicode version

Theorem dprddomprc 16881
Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
dprddomprc  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )

Proof of Theorem dprddomprc
StepHypRef Expression
1 df-nel 2665 . . 3  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
2 dmexg 6725 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
32con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  S  e.  _V )
41, 3sylbi 195 . 2  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  S  e.  _V )
5 reldmdprd 16878 . . 3  |-  Rel  dom DProd
65brrelex2i 5046 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
74, 6nsyl 121 1  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   _Vcvv 3118   class class class wbr 4452   dom cdm 5004   DProd cdprd 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-dprd 16876
This theorem is referenced by:  dprddomcld  16882  dprdsubg  16920
  Copyright terms: Public domain W3C validator