MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddomprc Structured version   Unicode version

Theorem dprddomprc 17619
Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
dprddomprc  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )

Proof of Theorem dprddomprc
StepHypRef Expression
1 df-nel 2621 . . 3  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
2 dmexg 6734 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
32con3i 140 . . 3  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  S  e.  _V )
41, 3sylbi 198 . 2  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  S  e.  _V )
5 reldmdprd 17616 . . 3  |-  Rel  dom DProd
65brrelex2i 4891 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
74, 6nsyl 124 1  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1868    e/ wnel 2619   _Vcvv 3081   class class class wbr 4420   dom cdm 4849   DProd cdprd 17612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-dm 4859  df-rn 4860  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-dprd 17614
This theorem is referenced by:  dprddomcld  17620  dprdsubg  17644
  Copyright terms: Public domain W3C validator