MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddomprc Structured version   Unicode version

Theorem dprddomprc 16614
Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
dprddomprc  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )

Proof of Theorem dprddomprc
StepHypRef Expression
1 df-nel 2651 . . 3  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
2 dmexg 6622 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
32con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  S  e.  _V )
41, 3sylbi 195 . 2  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  S  e.  _V )
5 reldmdprd 16611 . . 3  |-  Rel  dom DProd
65brrelex2i 4991 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
74, 6nsyl 121 1  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1758    e/ wnel 2649   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   DProd cdprd 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-dm 4961  df-rn 4962  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-dprd 16609
This theorem is referenced by:  dprddomcld  16615  dprdsubg  16653
  Copyright terms: Public domain W3C validator