MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddomcld Structured version   Unicode version

Theorem dprddomcld 16906
Description: If a family of subgroups is a family of subgroups for an internal direct product, then it is indexed by a set. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprddomcld.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprddomcld.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprddomcld  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem dprddomcld
StepHypRef Expression
1 dprddomcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
2 dprddomcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 df-nel 2641 . . . . 5  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
4 dprddomprc 16905 . . . . 5  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
53, 4sylbir 213 . . . 4  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
65con4i 130 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
7 eleq1 2515 . . 3  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( dom  S  e.  _V 
<->  I  e.  _V )
)
86, 7syl5ib 219 . 2  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( G dom DProd  S  ->  I  e.  _V )
)
91, 2, 8sylc 60 1  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    e/ wnel 2639   _Vcvv 3095   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   DProd cdprd 16898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-dm 4999  df-rn 5000  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-dprd 16900
This theorem is referenced by:  dprdcntz  16915  dprddisj  16916  dprdw  16917  dprdwd  16918  dprdfid  16931  dprdfinv  16933  dprdfadd  16934  dprdfsub  16935  dprdfeq0  16936  dprdf11  16937  dprdlub  16947  dprdres  16949  dprdss  16950  dprdf1o  16953  dmdprdsplitlem  16958  dprddisj2  16961  dmdprdsplit2  16969  dpjfval  16978  dpjidcl  16981
  Copyright terms: Public domain W3C validator