MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddomcld Structured version   Unicode version

Theorem dprddomcld 17352
Description: If a family of subgroups is a family of subgroups for an internal direct product, then it is indexed by a set. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprddomcld.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprddomcld.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprddomcld  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem dprddomcld
StepHypRef Expression
1 dprddomcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
2 dprddomcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 df-nel 2601 . . . . 5  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
4 dprddomprc 17351 . . . . 5  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
53, 4sylbir 213 . . . 4  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
65con4i 130 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
7 eleq1 2474 . . 3  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( dom  S  e.  _V 
<->  I  e.  _V )
)
86, 7syl5ib 219 . 2  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( G dom DProd  S  ->  I  e.  _V )
)
91, 2, 8sylc 59 1  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   DProd cdprd 17344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-dm 4833  df-rn 4834  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-dprd 17346
This theorem is referenced by:  dprdcntz  17361  dprddisj  17362  dprdw  17363  dprdwd  17364  dprdfid  17377  dprdfinv  17379  dprdfadd  17380  dprdfsub  17381  dprdfeq0  17382  dprdf11  17383  dprdlub  17393  dprdres  17395  dprdss  17396  dprdf1o  17399  dmdprdsplitlem  17404  dprddisj2  17407  dmdprdsplit2  17415  dpjfval  17424  dpjidcl  17427
  Copyright terms: Public domain W3C validator