MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd2db Structured version   Unicode version

Theorem dprd2db 17412
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d.1  |-  ( ph  ->  Rel  A )
dprd2d.2  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
dprd2d.3  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  I
)
dprd2d.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) )
dprd2d.5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) )
dprd2d.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dprd2db  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  ( A " {
i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, A    i, G, j    i, I    i, K    ph, i, j    S, i, j
Allowed substitution hints:    I( j)    K( j)

Proof of Theorem dprd2db
StepHypRef Expression
1 dprd2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Rel  A )
2 dprd2d.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
3 dprd2d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  I
)
4 dprd2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) )
5 dprd2d.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) )
6 dprd2d.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6dprd2da 17411 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
86dprdspan 17394 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
10 relssres 5131 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  A  /\  dom  A 
C_  I )  -> 
( A  |`  I )  =  A )
111, 3, 10syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  |`  I )  =  A )
1211imaeq2d 5157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S " ( A  |`  I ) )  =  ( S " A ) )
13 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( S : A --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  A )
14 fnima 5680 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  A  ->  ( S " A )  =  ran  S )
152, 13, 143syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S " A
)  =  ran  S
)
1612, 15eqtr2d 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ( S " ( A  |`  I ) ) )
1716unieqd 4201 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  S  = 
U. ( S "
( A  |`  I ) ) )
1817fveq2d 5853 . 2  |-  ( ph  ->  ( K `  U. ran  S )  =  ( K `  U. ( S " ( A  |`  I ) ) ) )
19 ssid 3461 . . . 4  |-  I  C_  I
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  I  C_  I )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 20dprd2dlem1 17410 . 2  |-  ( ph  ->  ( K `  U. ( S " ( A  |`  I ) ) )  =  ( G DProd  (
i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  ( A " {
i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) ) )
229, 18, 213eqtrd 2447 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  ( A " {
i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   {csn 3972   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824    |` cres 4825   "cima 4826   Rel wrel 4828    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278  mrClscmrc 15197  SubGrpcsubg 16519   DProd cdprd 17344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-cntz 16679  df-oppg 16705  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-dprd 17346
This theorem is referenced by:  dprd2d2  17413
  Copyright terms: Public domain W3C validator