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Theorem dprd2d2 15557
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d2.1  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
dprd2d2.2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  S ) )
dprd2d2.3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dprd2d2  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  /\  ( G DProd  (
i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, G    i, I, j    j, J    ph, i, j
Allowed substitution hints:    S( i, j)    J( i)

Proof of Theorem dprd2d2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4942 . . . . . 6  |-  Rel  ( { i }  X.  J )
21rgenw 2733 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  Rel  ( { i }  X.  J
)
3 reliun 4954 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  <->  A. i  e.  I  Rel  ( { i }  X.  J
) )
42, 3mpbir 201 . . . 4  |-  Rel  U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
)
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) )
6 dprd2d2.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
76ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  J  S  e.  (SubGrp `  G
) )
8 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
98fmpt2x 6376 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  J  S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) : U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) --> (SubGrp `  G )
)
107, 9sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) : U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) --> (SubGrp `  G ) )
11 dmiun 5037 . . . 4  |-  dom  U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
)  =  U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J
)
12 dmxpss 5259 . . . . . . 7  |-  dom  ( { i }  X.  J )  C_  { i }
13 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  i  e.  I )
1413snssd 3903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  { i }  C_  I )
1512, 14syl5ss 3319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I
)
1615ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I )
17 iunss 4092 . . . . 5  |-  ( U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I  <->  A. i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I
)
1816, 17sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I )
1911, 18syl5eqss 3352 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  C_  I )
20 dprd2d2.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  S ) )
21 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
22 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
238ovmpt4g 6155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2421, 22, 6, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2524anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  J )  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2625mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( j  e.  J  |->  S ) )
2720, 26breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
2827ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
29 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ i G
30 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ i dom DProd
31 nfcsb1v 3243 . . . . . . . 8  |-  F/_ i [_ x  /  i ]_ J
32 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
x
33 nfmpt21 6099 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
34 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
j
3532, 33, 34nfov 6063 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )
3631, 35nfmpt 4257 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
3729, 30, 36nfbr 4216 . . . . . 6  |-  F/ i  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
38 csbeq1a 3219 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  J  =  [_ x  /  i ]_ J )
39 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
4038, 39mpteq12dv 4247 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
4140breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  <-> 
G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
4237, 41rspc 3006 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  ->  ( A. i  e.  I  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  ->  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
4328, 42mpan9 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
44 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )
45 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ j
x
46 nfmpt22 6100 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
47 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ j
y
4845, 46, 47nfov 6063 . . . . . 6  |-  F/_ j
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y )
49 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( j  =  y  ->  (
x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
5044, 48, 49cbvmpt 4259 . . . . 5  |-  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( y  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
51 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  j  =  z
5231nfcri 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
5351, 52nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
)
5438eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  <->  j  e.  [_ x  /  i ]_ J ) )
5554anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  x  ->  (
( j  =  z  /\  j  e.  J
)  <->  ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J ) ) )
5653, 55equsex 1969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i ( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  ( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J ) )
57 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  i  =  x )
58 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  x  e.  I )
5957, 58eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  i  e.  I )
6059biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  ( j  e.  J  <->  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) )
6160pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  j  e.  J )  <->  ( (
i  =  x  /\  j  =  z )  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J
) ) ) )
62 anass 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  j  e.  J )  <->  ( i  =  x  /\  (
j  =  z  /\  j  e.  J )
) )
63 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>. 
<-> 
<. i ,  j >.  =  <. x ,  z
>. )
64 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
65 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
6664, 65opth 4395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  j >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( i  =  x  /\  j  =  z ) )
6763, 66bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  <->  <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>. )
6867anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  <->  ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
6961, 62, 683bitr3g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
7069exbidv 1633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E. i ( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  E. i
( <. x ,  z
>.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
7156, 70syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
)  <->  E. i ( <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) ) )
7271exbidv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E. j ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J )  <->  E. j E. i ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
73 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
74 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  z  ->  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  z  e.  [_ x  / 
i ]_ J ) )
7573, 74ceqsexv 2951 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J )  <->  z  e.  [_ x  /  i ]_ J )
76 excom 1752 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j E. i (
<. x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
7772, 75, 763bitr3g 279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  E. i E. j (
<. x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) ) )
78 elrelimasn 5187 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  -> 
( z  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } )  <-> 
x U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) z ) )
794, 78ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  <->  x U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) z )
80 df-br 4173 . . . . . . . . 9  |-  ( x
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) z  <->  <. x ,  z >.  e.  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) )
81 eliunxp 4971 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
8279, 80, 813bitri 263 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
8377, 82syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } ) ) )
8483eqrdv 2402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  [_ x  /  i ]_ J  =  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } ) )
8584mpteq1d 4250 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )  =  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
8650, 85syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
8743, 86breqtrd 4196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G dom DProd  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
88 dprd2d2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
8926oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) )
9089mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
9188, 90breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) ) )
92 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x
( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
93 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ i DProd
9429, 93, 36nfov 6063 . . . . . 6  |-  F/_ i
( G DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
9540oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
9692, 94, 95cbvmpt 4259 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
9786oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
y  e.  ( U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) " {
x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) )
9897mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
9996, 98syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
10091, 99breqtrd 4196 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
101 eqid 2404 . . 3  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
1025, 10, 19, 87, 100, 101dprd2da 15555 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )
1035, 10, 19, 87, 100, 101dprd2db 15556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd 
( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) ) )
10499, 90eqtr3d 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
105104oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) )
106103, 105eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd 
( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) ) )
107102, 106jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  /\  ( G DProd  (
i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   [_csb 3211    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   "cima 4840   Rel wrel 4842   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042  mrClscmrc 13763  SubGrpcsubg 14893   DProd cdprd 15509
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  15599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-dprd 15511
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