MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjrid Structured version   Unicode version

Theorem dpjrid 16678
Description: The  Y-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dpjrid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjrid.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
dpjrid.6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
Assertion
Ref Expression
dpjrid  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )

Proof of Theorem dpjrid
Dummy variables  h  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjrid.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
2 dpjrid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
4 dpjfval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
5 dpjfval.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
6 dpjlid.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
7 dpjlid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
8 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dprdfid 16624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A ) )
109simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A )
1110eqcomd 2460 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) ) )
12 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
134, 5, 6dprdub 16639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
1413, 7sseldd 3460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
159simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
164, 5, 12, 14, 2, 3, 15dpjeq 16675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
1711, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
18 fveq2 5794 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( P `  x )  =  ( P `  Y ) )
1918fveq1d 5796 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( P `  x
) `  A )  =  ( ( P `
 Y ) `  A ) )
20 eqeq1 2456 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  =  X  <->  Y  =  X ) )
2120ifbid 3914 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2219, 21eqeq12d 2474 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  <->  ( ( P `  Y
) `  A )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
2322rspcv 3169 . . 3  |-  ( Y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
) )
241, 17, 23sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
)
25 dpjrid.6 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
26 ifnefalse 3904 . . 3  |-  ( Y  =/=  X  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2725, 26syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2824, 27eqtrd 2493 1  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   {crab 2800   ifcif 3894   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4943   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   X_cixp 7368   finSupp cfsupp 7726   0gc0g 14492    gsumg cgsu 14493   DProd cdprd 16592  dProjcdpj 16593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-ghm 15859  df-gim 15901  df-cntz 15949  df-oppg 15975  df-lsm 16251  df-pj1 16252  df-cmn 16395  df-dprd 16594  df-dpj 16595
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator