MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjrid Structured version   Unicode version

Theorem dpjrid 16982
Description: The  Y-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dpjrid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjrid.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
dpjrid.6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
Assertion
Ref Expression
dpjrid  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )

Proof of Theorem dpjrid
Dummy variables  h  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjrid.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
2 dpjrid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
4 dpjfval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
5 dpjfval.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
6 dpjlid.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
7 dpjlid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
8 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dprdfid 16928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A ) )
109simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A )
1110eqcomd 2449 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) ) )
12 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
134, 5, 6dprdub 16943 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
1413, 7sseldd 3488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
159simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
164, 5, 12, 14, 2, 3, 15dpjeq 16979 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
1711, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
18 fveq2 5853 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( P `  x )  =  ( P `  Y ) )
1918fveq1d 5855 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( P `  x
) `  A )  =  ( ( P `
 Y ) `  A ) )
20 eqeq1 2445 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  =  X  <->  Y  =  X ) )
2120ifbid 3945 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2219, 21eqeq12d 2463 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  <->  ( ( P `  Y
) `  A )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
2322rspcv 3190 . . 3  |-  ( Y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
) )
241, 17, 23sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
)
25 dpjrid.6 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
26 ifnefalse 3935 . . 3  |-  ( Y  =/=  X  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2725, 26syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2824, 27eqtrd 2482 1  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   {crab 2795   ifcif 3923   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   dom cdm 4986   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   X_cixp 7468   finSupp cfsupp 7828   0gc0g 14711    gsumg cgsu 14712   DProd cdprd 16895  dProjcdpj 16896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-mhm 15837  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-gim 16178  df-cntz 16226  df-oppg 16252  df-lsm 16527  df-pj1 16528  df-cmn 16671  df-dprd 16897  df-dpj 16898
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator