MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlsm Structured version   Unicode version

Theorem dpjlsm 16527
Description: The two subgroups that appear in dpjval 16529 add to the full direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjlem.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlsm.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
dpjlsm  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X )  .(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem dpjlsm
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprdf2 16465 . . 3  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
4 disjdif 3739 . . . 4  |-  ( { X }  i^i  (
I  \  { X } ) )  =  (/)
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { X }  i^i  ( I  \  { X } ) )  =  (/) )
6 undif2 3743 . . . 4  |-  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) )  =  ( { X }  u.  I )
7 dpjlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
87snssd 4006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { X }  C_  I )
9 ssequn1 3514 . . . . 5  |-  ( { X }  C_  I  <->  ( { X }  u.  I )  =  I )
108, 9sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  I )  =  I )
116, 10syl5req 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  I  =  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) ) )
12 dpjlsm.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
133, 5, 11, 12, 1dprdsplit 16521 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( G DProd 
( S  |`  { X } ) )  .(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
141, 2, 7dpjlem 16524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )
1514oveq1d 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  .(+)  ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  ( ( S `  X ) 
.(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
1613, 15eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X )  .(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   class class class wbr 4280   dom cdm 4827    |` cres 4829   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   LSSumclsm 16113   DProd cdprd 16449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-gim 15767  df-cntz 15815  df-oppg 15841  df-lsm 16115  df-cmn 16259  df-dprd 16451
This theorem is referenced by:  dpjf  16530  dpjidcl  16531  dpjghm  16536  dpjidclOLD  16538
  Copyright terms: Public domain W3C validator