MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlem Structured version   Unicode version

Theorem dpjlem 16540
Description: Lemma for theorems about direct product projection. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjlem.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dpjlem  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )

Proof of Theorem dpjlem
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprdf2 16481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
4 ffn 5556 . . . . 5  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  I )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  Fn  I )
6 dpjlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
7 fnressn 5891 . . . 4  |-  ( ( S  Fn  I  /\  X  e.  I )  ->  ( S  |`  { X } )  =  { <. X ,  ( S `
 X ) >. } )
85, 6, 7syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  |`  { X } )  =  { <. X ,  ( S `
 X ) >. } )
98oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( G DProd  { <. X ,  ( S `  X )
>. } ) )
103, 6ffvelrnd 5841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
11 dprdsn 16523 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. X ,  ( S `  X )
>. }  /\  ( G DProd  { <. X ,  ( S `  X )
>. } )  =  ( S `  X ) ) )
126, 10, 11syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. X ,  ( S `  X ) >. }  /\  ( G DProd  { <. X , 
( S `  X
) >. } )  =  ( S `  X
) ) )
1312simprd 460 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. X ,  ( S `  X ) >. } )  =  ( S `  X ) )
149, 13eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874   <.cop 3880   class class class wbr 4289   dom cdm 4836    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090  SubGrpcsubg 15668   DProd cdprd 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-cmn 16272  df-dprd 16467
This theorem is referenced by:  dpjcntz  16541  dpjdisj  16542  dpjlsm  16543  ablfac1eulem  16563  ablfac1eu  16564
  Copyright terms: Public domain W3C validator