Theorem dpjidcl 17627

Description: The key property of projections: the sum of all the projections of A is A. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dpjfval.2	|- ( ph -> dom S = I )
dpjfval.p	|- P = ( GdProj S )
dpjidcl.3	|- ( ph -> A e. ( G DProd S ) )
dpjidcl.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dpjidcl.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }

Assertion

Ref	Expression
dpjidcl	|- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, h, .0.   h, i, G, x   P, h, x   ph, i, x   h, I, i, x   x, W   A, h, x   S, h, i, x

Allowed substitution hints:   ph( h)   A( i)   P( i)   W( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dpjidcl

Dummy variables k f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjidcl.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( G DProd S ) )
2		dpjfval.2	. . . . 5 |- ( ph -> dom S = I )
3		dpjidcl.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
4		dpjidcl.w	. . . . . 6 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
5	3, 4	eldprd 17572	. . . . 5 |- ( dom S = I -> ( A e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. W A = ( G gsumg f ) ) ) )
6	2, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. W A = ( G gsumg f ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 213	. . 3 |- ( ph -> ( G dom DProd S /\ E. f e. W A = ( G gsumg f ) ) )
8	7	simprd 464	. 2 |- ( ph -> E. f e. W A = ( G gsumg f ) )
9		dpjfval.1	. . . . 5 |- ( ph -> G dom DProd S )
10	9	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
11	2	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
12	9	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> G dom DProd S )
13	2	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> dom S = I )
14		dpjfval.p	. . . . . 6 |- P = ( GdProj S )
15		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> x e. I )
16	12, 13, 14, 15	dpjf 17626	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) : ( G DProd S ) --> ( S ` x ) )
17	1	ad2antrr 730	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A e. ( G DProd S ) )
18	16, 17	ffvelrnd 5975	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ` A ) e. ( S ` x ) )
19	9, 2	dprddomcld 17569	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. _V )
20		mptexg 6087	. . . . . . 7 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V )
22	21	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V )
23		funmpt 5573	. . . . . 6 |- Fun ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) )
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) )
25		simprl 762	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. W )
26	4, 10, 11, 25	dprdffsupp 17583	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
27		eldifi 3523	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> x e. I )
28		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( proj1 ` G ) = ( proj1 ` G )
29	12, 13, 14, 28, 15	dpjval 17625	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) = ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
30	29	fveq1d 5820	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) )
31	27, 30	sylan2 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) )
32		simplrr 769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> A = ( G gsumg f ) )
33		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
34		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
35		dprdgrp 17573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
36		grpmnd 16614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
37	10, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
38	37	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> G e. Mnd )
39	19	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> I e. _V )
40	4, 10, 11, 25, 33	dprdff 17581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
41	40	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
42	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f e. W )
43	4, 12, 13, 42, 34	dprdfcntz 17584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
44	27, 43	sylan2 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
45		snssi 4080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) )
46	45	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) )
47	46	difss2d 3531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> { x } C_ I )
48		suppssdm 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f supp .0. ) C_ dom f
49		fdm 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : I --> ( Base ` G ) -> dom f = I )
50	40, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> dom f = I )
51	48, 50	syl5sseq 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ I )
52	51	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ I )
53		ssconb 3534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ I /\ ( f supp .0. ) C_ I ) -> ( { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) <-> ( f supp .0. ) C_ ( I \ { x } ) ) )
54	47, 52, 53	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) <-> ( f supp .0. ) C_ ( I \ { x } ) ) )
55	46, 54	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( I \ { x } ) )
56	26	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> f finSupp .0. )
57	33, 3, 34, 38, 39, 41, 44, 55, 56	gsumzres 17479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) = ( G gsumg f ) )
58	32, 57	eqtr4d 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> A = ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) )
59		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. }
60		difss 3528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I \ { x } ) C_ I
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( I \ { x } ) C_ I )
62	12, 13, 61	dprdres 17597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G dom DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) /\ ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) C_ ( G DProd S ) ) )
63	62	simpld 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> G dom DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) )
64	12, 13	dprdf2 17575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
65		fssres 5702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ ( I \ { x } ) C_ I ) -> ( S |` ( I \ { x } ) ) : ( I \ { x } ) --> (SubGrp ` G ) )
66	64, 60, 65	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( S |` ( I \ { x } ) ) : ( I \ { x } ) --> (SubGrp ` G ) )
67		fdm 5686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` ( I \ { x } ) ) : ( I \ { x } ) --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` ( I \ { x } ) ) = ( I \ { x } ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> dom ( S |` ( I \ { x } ) ) = ( I \ { x } ) )
69	40	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
70	69	feqmptd 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f = ( k e. I |-> ( f ` k ) ) )
71	70	reseq1d 5059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` ( I \ { x } ) ) = ( ( k e. I |-> ( f ` k ) ) |` ( I \ { x } ) ) )
72		resmpt 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I \ { x } ) C_ I -> ( ( k e. I |-> ( f ` k ) ) |` ( I \ { x } ) ) = ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) )
73	60, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. I |-> ( f ` k ) ) |` ( I \ { x } ) ) = ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) )
74	71, 73	syl6eq 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` ( I \ { x } ) ) = ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) )
75		eldifi 3523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( I \ { x } ) -> k e. I )
76	4, 12, 13, 42	dprdfcl 17582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. I ) -> ( f ` k ) e. ( S ` k ) )
77	75, 76	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ { x } ) ) -> ( f ` k ) e. ( S ` k ) )
78		fvres 5832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( I \ { x } ) -> ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` k ) = ( S ` k ) )
79	78	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ { x } ) ) -> ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` k ) = ( S ` k ) )
80	77, 79	eleqtrrd 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ { x } ) ) -> ( f ` k ) e. ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` k ) )
81		difexg 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. _V -> ( I \ { x } ) e. _V )
82	19, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( I \ { x } ) e. _V )
83		mptexg 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I \ { x } ) e. _V -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V )
85	84	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V )
86		funmpt 5573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Fun ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> Fun ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) )
88	26	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f finSupp .0. )
89		ssdif 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I \ { x } ) C_ I -> ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) )
90	60, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) C_ ( I \ ( f supp .0. ) )
91	90	sseli 3396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) -> k e. ( I \ ( f supp .0. ) ) )
92		ssid 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
94	19	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> I e. _V )
95		fvex 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` G ) e. _V
96	3, 95	eqeltri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> .0. e. _V )
98	69, 93, 94, 97	suppssr 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` k ) = .0. )
99	91, 98	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` k ) = .0. )
100	82	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( I \ { x } ) e. _V )
101	99, 100	suppss2 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
102		fsuppsssupp 7845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V /\ Fun ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) finSupp .0. )
103	85, 87, 88, 101, 102	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) finSupp .0. )
104	59, 63, 68, 80, 103	dprdwd 17579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. } )
105	74, 104	eqeltrd 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` ( I \ { x } ) ) e. { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. } )
106	3, 59, 63, 68, 105	eldprdi 17587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) )
107	27, 106	sylan2 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) )
108	58, 107	eqeltrd 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> A e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) )
109		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
110		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
111	64, 15	ffvelrnd 5975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( S ` x ) e. (SubGrp ` G ) )
112		dprdsubg 17593	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) -> ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
113	63, 112	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
114	12, 13, 15, 3	dpjdisj 17622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( S ` x ) i^i ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) = { .0. } )
115	12, 13, 15, 34	dpjcntz 17621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( S ` x ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
116	109, 110, 3, 34, 111, 113, 114, 115, 28	pj1rid 17288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ A e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = .0. )
117	27, 116	sylanl2 655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ A e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = .0. )
118	108, 117	mpdan 672	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = .0. )
119	31, 118	eqtrd 2456	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = .0. )
120	19	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
121	119, 120	suppss2 6897	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
122		fsuppsssupp 7845	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V /\ Fun ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) finSupp .0. )
123	22, 24, 26, 121, 122	syl22anc 1265	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) finSupp .0. )
124	4, 10, 11, 18, 123	dprdwd 17579	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W )
125		simprr 764	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> A = ( G gsumg f ) )
126	40	feqmptd 5871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( x e. I |-> ( f ` x ) ) )
127		simplrr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A = ( G gsumg f ) )
128	12, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> G e. Mnd )
129	4, 12, 13, 42	dprdffsupp 17583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f finSupp .0. )
130		disjdif 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } i^i ( I \ { x } ) ) = (/)
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( { x } i^i ( I \ { x } ) ) = (/) )
132		undif2 3809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } u. ( I \ { x } ) ) = ( { x } u. I )
133	15	snssd 4081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> { x } C_ I )
134		ssequn1 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ I <-> ( { x } u. I ) = I )
135	133, 134	sylib 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( { x } u. I ) = I )
136	132, 135	syl5req 2469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> I = ( { x } u. ( I \ { x } ) ) )
137	33, 3, 109, 34, 128, 94, 69, 43, 129, 131, 136	gsumzsplit 17496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg f ) = ( ( G gsumg ( f |` { x } ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
138	69, 133	feqresmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` { x } ) = ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) )
139	138	oveq2d 6258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( f |` { x } ) ) = ( G gsumg ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) ) )
140	69, 15	ffvelrnd 5975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. ( Base ` G ) )
141		fveq2 5818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( f ` k ) = ( f ` x ) )
142	33, 141	gsumsn 17523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. I /\ ( f ` x ) e. ( Base ` G ) ) -> ( G gsumg ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) ) = ( f ` x ) )
143	128, 15, 140, 142	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) ) = ( f ` x ) )
144	139, 143	eqtrd 2456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( f |` { x } ) ) = ( f ` x ) )
145	144	oveq1d 6257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( G gsumg ( f |` { x } ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
146	127, 137, 145	3eqtrd 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A = ( ( f ` x ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
147	12, 13, 15, 110	dpjlsm 17623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G DProd S ) = ( ( S ` x ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
148	17, 147	eleqtrd 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A e. ( ( S ` x ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
149	4, 10, 11, 25	dprdfcl 17582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. ( S ` x ) )
150	109, 110, 3, 34, 111, 113, 114, 115, 28, 148, 149, 106	pj1eq 17286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( A = ( ( f ` x ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) <-> ( ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = ( f ` x ) /\ ( ( ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ( proj1 ` G ) ( S ` x ) ) ` A ) = ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) ) )
151	146, 150	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = ( f ` x ) /\ ( ( ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ( proj1 ` G ) ( S ` x ) ) ` A ) = ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
152	151	simpld 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = ( f ` x ) )
153	30, 152	eqtrd 2456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = ( f ` x ) )
154	153	mpteq2dva 4446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) = ( x e. I |-> ( f ` x ) ) )
155	126, 154	eqtr4d 2459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) )
156	155	oveq2d 6258	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) )
157	125, 156	eqtrd 2456	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) )
158	124, 157	jca 534	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )
159	8, 158	rexlimddv 2854	1 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   E.wrex 2709   {crab 2712   _Vcvv 3016   \ cdif 3369   u. cun 3370   i^i cin 3371   C_ wss 3372   (/)c0 3697   {csn 3934   class class class wbr 4359   |-> cmpt 4418   dom cdm 4789   ran crn 4790   |` cres 4791   Fun wfun 5531   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   supp csupp 6862   X_cixp 7470   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 15057   +g cplusg 15126   0gc0g 15274   gsum_g cgsu 15275   Mndcmnd 16471   Grpcgrp 16605  SubGrpcsubg 16747  Cntzccntz 16905   LSSumclsm 17222   proj1cpj1 17223   DProd cdprd 17561  dProjcdpj 17562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-tpos 6921  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-oi 7971  df-card 8318  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-hash 12459  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-mhm 16518  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-mulg 16612  df-subg 16750  df-ghm 16817  df-gim 16859  df-cntz 16907  df-oppg 16933  df-lsm 17224  df-pj1 17225  df-cmn 17368  df-dprd 17563  df-dpj 17564

This theorem is referenced by:  dpjeq  17628  dpjid  17629