Theorem dpjidcl 16545

Description: The key property of projections: the sum of all the projections of A is A. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dpjfval.2	|- ( ph -> dom S = I )
dpjfval.p	|- P = ( GdProj S )
dpjidcl.3	|- ( ph -> A e. ( G DProd S ) )
dpjidcl.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dpjidcl.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }

Assertion

Ref	Expression
dpjidcl	|- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, h, .0.   h, i, G, x   P, h, x   ph, i, x   h, I, i, x   x, W   A, h, x   S, h, i, x

Allowed substitution hints:   ph( h)   A( i)   P( i)   W( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dpjidcl

Dummy variables k f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjidcl.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( G DProd S ) )
2		dpjfval.2	. . . . 5 |- ( ph -> dom S = I )
3		dpjidcl.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
4		dpjidcl.w	. . . . . 6 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
5	3, 4	eldprd 16474	. . . . 5 |- ( dom S = I -> ( A e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. W A = ( G gsumg f ) ) ) )
6	2, 5	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. W A = ( G gsumg f ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( G dom DProd S /\ E. f e. W A = ( G gsumg f ) ) )
8	7	simprd 463	. 2 |- ( ph -> E. f e. W A = ( G gsumg f ) )
9		dpjfval.1	. . . . 5 |- ( ph -> G dom DProd S )
10	9	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
11	2	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
12	9	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> G dom DProd S )
13	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> dom S = I )
14		dpjfval.p	. . . . . 6 |- P = ( GdProj S )
15		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> x e. I )
16	12, 13, 14, 15	dpjf 16544	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) : ( G DProd S ) --> ( S ` x ) )
17	1	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A e. ( G DProd S ) )
18	16, 17	ffvelrnd 5839	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ` A ) e. ( S ` x ) )
19	9, 2	dprddomcld 16471	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. _V )
20		mptexg 5942	. . . . . . 7 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V )
22	21	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V )
23		funmpt 5449	. . . . . 6 |- Fun ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) )
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) )
25		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. W )
26	4, 10, 11, 25	dprdffsupp 16486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
27		eldifi 3473	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> x e. I )
28		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( proj1 ` G ) = ( proj1 ` G )
29	12, 13, 14, 28, 15	dpjval 16543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) = ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
30	29	fveq1d 5688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) )
31	27, 30	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) )
32		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> A = ( G gsumg f ) )
33		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
34		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
35		dprdgrp 16477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
36		grpmnd 15541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
37	10, 35, 36	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> G e. Mnd )
39	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> I e. _V )
40	4, 10, 11, 25, 33	dprdff 16484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
42	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f e. W )
43	4, 12, 13, 42, 34	dprdfcntz 16487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
44	27, 43	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
45		snssi 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) )
47	46	difss2d 3481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> { x } C_ I )
48		suppssdm 6698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f supp .0. ) C_ dom f
49		fdm 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : I --> ( Base ` G ) -> dom f = I )
50	40, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> dom f = I )
51	48, 50	syl5sseq 3399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ I )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ I )
53		ssconb 3484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ I /\ ( f supp .0. ) C_ I ) -> ( { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) <-> ( f supp .0. ) C_ ( I \ { x } ) ) )
54	47, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( { x } C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) <-> ( f supp .0. ) C_ ( I \ { x } ) ) )
55	46, 54	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( I \ { x } ) )
56	26	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> f finSupp .0. )
57	33, 3, 34, 38, 39, 41, 44, 55, 56	gsumzres 16379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) = ( G gsumg f ) )
58	32, 57	eqtr4d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> A = ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) )
59		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. }
60		difss 3478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I \ { x } ) C_ I
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( I \ { x } ) C_ I )
62	12, 13, 61	dprdres 16513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G dom DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) /\ ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) C_ ( G DProd S ) ) )
63	62	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> G dom DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) )
64	12, 13	dprdf2 16479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
65		fssres 5573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ ( I \ { x } ) C_ I ) -> ( S |` ( I \ { x } ) ) : ( I \ { x } ) --> (SubGrp ` G ) )
66	64, 60, 65	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( S |` ( I \ { x } ) ) : ( I \ { x } ) --> (SubGrp ` G ) )
67		fdm 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` ( I \ { x } ) ) : ( I \ { x } ) --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` ( I \ { x } ) ) = ( I \ { x } ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> dom ( S |` ( I \ { x } ) ) = ( I \ { x } ) )
69	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
70	69	feqmptd 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f = ( k e. I |-> ( f ` k ) ) )
71	70	reseq1d 5104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` ( I \ { x } ) ) = ( ( k e. I |-> ( f ` k ) ) |` ( I \ { x } ) ) )
72		resmpt 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I \ { x } ) C_ I -> ( ( k e. I |-> ( f ` k ) ) |` ( I \ { x } ) ) = ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) )
73	60, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. I |-> ( f ` k ) ) |` ( I \ { x } ) ) = ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) )
74	71, 73	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` ( I \ { x } ) ) = ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) )
75		eldifi 3473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( I \ { x } ) -> k e. I )
76	4, 12, 13, 42	dprdfcl 16485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. I ) -> ( f ` k ) e. ( S ` k ) )
77	75, 76	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ { x } ) ) -> ( f ` k ) e. ( S ` k ) )
78		fvres 5699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( I \ { x } ) -> ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` k ) = ( S ` k ) )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ { x } ) ) -> ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` k ) = ( S ` k ) )
80	77, 79	eleqtrrd 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ { x } ) ) -> ( f ` k ) e. ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` k ) )
81		difexg 4435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. _V -> ( I \ { x } ) e. _V )
82	19, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( I \ { x } ) e. _V )
83		mptexg 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I \ { x } ) e. _V -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V )
84	82, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V )
85	84	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V )
86		funmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Fun ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> Fun ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) )
88	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f finSupp .0. )
89		ssdif 3486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I \ { x } ) C_ I -> ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) C_ ( I \ ( f supp .0. ) ) )
90	60, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) C_ ( I \ ( f supp .0. ) )
91	90	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) -> k e. ( I \ ( f supp .0. ) ) )
92		ssid 3370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
94	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> I e. _V )
95		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` G ) e. _V
96	3, 95	eqeltri 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> .0. e. _V )
98	69, 93, 94, 97	suppssr 6715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` k ) = .0. )
99	91, 98	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( ( I \ { x } ) \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` k ) = .0. )
100	82	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( I \ { x } ) e. _V )
101	99, 100	suppss2 6718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
102		fsuppsssupp 7628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. _V /\ Fun ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) finSupp .0. )
103	85, 87, 88, 101, 102	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) finSupp .0. )
104	59, 63, 68, 80, 103	dprdwd 16483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( k e. ( I \ { x } ) |-> ( f ` k ) ) e. { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. } )
105	74, 104	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` ( I \ { x } ) ) e. { h e. X_ i e. ( I \ { x } ) ( ( S |` ( I \ { x } ) ) ` i ) | h finSupp .0. } )
106	3, 59, 63, 68, 105	eldprdi 16496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) )
107	27, 106	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) )
108	58, 107	eqeltrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> A e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) )
109		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
110		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
111	64, 15	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( S ` x ) e. (SubGrp ` G ) )
112		dprdsubg 16509	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) -> ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
113	63, 112	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
114	12, 13, 15, 3	dpjdisj 16540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( S ` x ) i^i ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) = { .0. } )
115	12, 13, 15, 34	dpjcntz 16539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( S ` x ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
116	109, 110, 3, 34, 111, 113, 114, 115, 28	pj1rid 16190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) /\ A e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = .0. )
117	27, 116	sylanl2 651	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ A e. ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = .0. )
118	108, 117	mpdan 668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = .0. )
119	31, 118	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = .0. )
120	19	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
121	119, 120	suppss2 6718	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
122		fsuppsssupp 7628	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. _V /\ Fun ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) finSupp .0. )
123	22, 24, 26, 121, 122	syl22anc 1219	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) finSupp .0. )
124	4, 10, 11, 18, 123	dprdwd 16483	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W )
125		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> A = ( G gsumg f ) )
126	40	feqmptd 5739	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( x e. I |-> ( f ` x ) ) )
127		simplrr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A = ( G gsumg f ) )
128	12, 35, 36	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> G e. Mnd )
129	4, 12, 13, 42	dprdffsupp 16486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> f finSupp .0. )
130		disjdif 3746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } i^i ( I \ { x } ) ) = (/)
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( { x } i^i ( I \ { x } ) ) = (/) )
132		undif2 3750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } u. ( I \ { x } ) ) = ( { x } u. I )
133	15	snssd 4013	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> { x } C_ I )
134		ssequn1 3521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ I <-> ( { x } u. I ) = I )
135	133, 134	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( { x } u. I ) = I )
136	132, 135	syl5req 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> I = ( { x } u. ( I \ { x } ) ) )
137	33, 3, 109, 34, 128, 94, 69, 43, 129, 131, 136	gsumzsplit 16409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg f ) = ( ( G gsumg ( f |` { x } ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
138	69, 133	feqresmpt 5740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f |` { x } ) = ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) )
139	138	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( f |` { x } ) ) = ( G gsumg ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) ) )
140	69, 15	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. ( Base ` G ) )
141		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( f ` k ) = ( f ` x ) )
142	33, 141	gsumsn 16439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. I /\ ( f ` x ) e. ( Base ` G ) ) -> ( G gsumg ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) ) = ( f ` x ) )
143	128, 15, 140, 142	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( k e. { x } |-> ( f ` k ) ) ) = ( f ` x ) )
144	139, 143	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G gsumg ( f |` { x } ) ) = ( f ` x ) )
145	144	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( G gsumg ( f |` { x } ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
146	127, 137, 145	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A = ( ( f ` x ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
147	12, 13, 15, 110	dpjlsm 16541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( G DProd S ) = ( ( S ` x ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
148	17, 147	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> A e. ( ( S ` x ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
149	4, 10, 11, 25	dprdfcl 16485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. ( S ` x ) )
150	109, 110, 3, 34, 111, 113, 114, 115, 28, 148, 149, 106	pj1eq 16188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( A = ( ( f ` x ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) <-> ( ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = ( f ` x ) /\ ( ( ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ( proj1 ` G ) ( S ` x ) ) ` A ) = ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) ) )
151	146, 150	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = ( f ` x ) /\ ( ( ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ( proj1 ` G ) ( S ` x ) ) ` A ) = ( G gsumg ( f |` ( I \ { x } ) ) ) ) )
152	151	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( S ` x ) ( proj1 ` G ) ( G DProd ( S |` ( I \ { x } ) ) ) ) ` A ) = ( f ` x ) )
153	30, 152	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ` A ) = ( f ` x ) )
154	153	mpteq2dva 4373	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) = ( x e. I |-> ( f ` x ) ) )
155	126, 154	eqtr4d 2473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) )
156	155	oveq2d 6102	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) )
157	125, 156	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) )
158	124, 157	jca 532	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. W /\ A = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )
159	8, 158	rexlimddv 2840	1 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ran crn 4836   |` cres 4837   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685   X_cixp 7255   finSupp cfsupp 7612   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   gsum_g cgsu 14371   Mndcmnd 15401   Grpcgrp 15402  SubGrpcsubg 15666  Cntzccntz 15824   LSSumclsm 16124   proj1cpj1 16125   DProd cdprd 16463  dProjcdpj 16464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-gim 15778  df-cntz 15826  df-oppg 15852  df-lsm 16126  df-pj1 16127  df-cmn 16270  df-dprd 16465  df-dpj 16466

This theorem is referenced by:  dpjeq  16546  dpjid  16547