MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjid Structured version   Unicode version

Theorem dpjid 16892
Description: The key property of projections: the sum of all the projections of  A is  A. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjid.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
Assertion
Ref Expression
dpjid  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, P    ph, x    x, I    x, A    x, S

Proof of Theorem dpjid
Dummy variables  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . 3  |-  P  =  ( GdProj S )
4 dpjid.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
5 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6 eqid 2460 . . 3  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 16890 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
) ) ) )
87simprd 463 1  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   X_cixp 7459   finSupp cfsupp 7818   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   DProd cdprd 16808  dProjcdpj 16809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-pj1 16446  df-cmn 16589  df-dprd 16810  df-dpj 16811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator