MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjf Structured version   Unicode version

Theorem dpjf 16889
Description: The  X-th index projection is a function from the direct product to the  X-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjf.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dpjf  |-  ( ph  ->  ( P `  X
) : ( G DProd 
S ) --> ( S `
 X ) )

Proof of Theorem dpjf
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
3 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 eqid 2460 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
6 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
75, 6dprdf2 16824 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
8 dpjf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
97, 8ffvelrnd 6013 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
10 difssd 3625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  \  { X } )  C_  I
)
115, 6, 10dprdres 16858 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
1211simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )
13 dprdsubg 16854 . . . 4  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  -> 
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
155, 6, 8, 3dpjdisj 16885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
165, 6, 8, 4dpjcntz 16884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
17 eqid 2460 . . 3  |-  ( proj1 `  G )  =  ( proj1 `  G )
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1f 16504 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) ( proj1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) : ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) --> ( S `  X ) )
19 dpjfval.p . . . 4  |-  P  =  ( GdProj S )
205, 6, 19, 17, 8dpjval 16888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  =  ( ( S `  X ) ( proj1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
215, 6, 8, 2dpjlsm 16886 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
2220, 21feq12d 5711 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) : ( G DProd  S ) --> ( S `  X )  <-> 
( ( S `  X ) ( proj1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) : ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) --> ( S `  X ) ) )
2318, 22mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( P `  X
) : ( G DProd 
S ) --> ( S `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3466    C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440   dom cdm 4992    |` cres 4994   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   +g cplusg 14544   0gc0g 14684  SubGrpcsubg 15983  Cntzccntz 16141   LSSumclsm 16443   proj1cpj1 16444   DProd cdprd 16808  dProjcdpj 16809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-pj1 16446  df-cmn 16589  df-dprd 16810  df-dpj 16811
This theorem is referenced by:  dpjidcl  16890  dpjghm2  16896  dpjidclOLD  16897  dchrptlem2  23261
  Copyright terms: Public domain W3C validator