MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjf Structured version   Unicode version

Theorem dpjf 17428
Description: The  X-th index projection is a function from the direct product to the  X-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjf.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dpjf  |-  ( ph  ->  ( P `  X
) : ( G DProd 
S ) --> ( S `
 X ) )

Proof of Theorem dpjf
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 eqid 2404 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
6 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
75, 6dprdf2 17362 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
8 dpjf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
97, 8ffvelrnd 6012 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
10 difssd 3573 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  \  { X } )  C_  I
)
115, 6, 10dprdres 17397 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
1211simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )
13 dprdsubg 17393 . . . 4  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  -> 
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
155, 6, 8, 3dpjdisj 17424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
165, 6, 8, 4dpjcntz 17423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
17 eqid 2404 . . 3  |-  ( proj1 `  G )  =  ( proj1 `  G )
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1f 17041 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) ( proj1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) : ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) --> ( S `  X ) )
19 dpjfval.p . . . 4  |-  P  =  ( GdProj S )
205, 6, 19, 17, 8dpjval 17427 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  =  ( ( S `  X ) ( proj1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
215, 6, 8, 2dpjlsm 17425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
2220, 21feq12d 5705 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) : ( G DProd  S ) --> ( S `  X )  <-> 
( ( S `  X ) ( proj1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) : ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) --> ( S `  X ) ) )
2318, 22mpbird 234 1  |-  ( ph  ->  ( P `  X
) : ( G DProd 
S ) --> ( S `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844    \ cdif 3413    C_ wss 3416   {csn 3974   class class class wbr 4397   dom cdm 4825    |` cres 4827   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   +g cplusg 14911   0gc0g 15056  SubGrpcsubg 16521  Cntzccntz 16679   LSSumclsm 16980   proj1cpj1 16981   DProd cdprd 17346  dProjcdpj 17347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-gim 16633  df-cntz 16681  df-oppg 16707  df-lsm 16982  df-pj1 16983  df-cmn 17126  df-dprd 17348  df-dpj 17349
This theorem is referenced by:  dpjidcl  17429  dpjghm2  17435  dpjidclOLD  17436  dchrptlem2  23923
  Copyright terms: Public domain W3C validator