MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Unicode version

Theorem dpjcntz 17611
Description: The two subgroups that appear in dpjval 17615 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjlem.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjcntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
dpjcntz  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjlem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
41, 2, 3dpjlem 17610 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )
51, 2dprdf2 17565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
6 disjdif 3873 . . . . . 6  |-  ( { X }  i^i  (
I  \  { X } ) )  =  (/)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { X }  i^i  ( I  \  { X } ) )  =  (/) )
8 undif2 3877 . . . . . 6  |-  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) )  =  ( { X }  u.  I )
93snssd 4148 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { X }  C_  I )
10 ssequn1 3642 . . . . . . 7  |-  ( { X }  C_  I  <->  ( { X }  u.  I )  =  I )
119, 10sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  I )  =  I )
128, 11syl5req 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) ) )
13 dpjcntz.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
14 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 17606 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( ( G dom DProd  ( S  |`  { X } )  /\  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) )
161, 15mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  ( S  |`  { X } )  /\  G dom DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
1716simp2d 1018 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
184, 17eqsstr3d 3505 1  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426   dom cdm 4854    |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0gc0g 15288  Cntzccntz 16911   DProd cdprd 17551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-mhm 16524  df-submnd 16525  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-sbg 16617  df-mulg 16618  df-subg 16756  df-ghm 16823  df-gim 16865  df-cntz 16913  df-oppg 16939  df-lsm 17214  df-cmn 17358  df-dprd 17553
This theorem is referenced by:  dpjf  17616  dpjidcl  17617  dpjlid  17620  dpjghm  17622
  Copyright terms: Public domain W3C validator