MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Unicode version

Theorem dpjcntz 16665
Description: The two subgroups that appear in dpjval 16669 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjlem.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjcntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
dpjcntz  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjlem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
41, 2, 3dpjlem 16664 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )
51, 2dprdf2 16605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
6 disjdif 3852 . . . . . 6  |-  ( { X }  i^i  (
I  \  { X } ) )  =  (/)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { X }  i^i  ( I  \  { X } ) )  =  (/) )
8 undif2 3856 . . . . . 6  |-  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) )  =  ( { X }  u.  I )
93snssd 4119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { X }  C_  I )
10 ssequn1 3627 . . . . . . 7  |-  ( { X }  C_  I  <->  ( { X }  u.  I )  =  I )
119, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  I )  =  I )
128, 11syl5req 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) ) )
13 dpjcntz.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 16660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( ( G dom DProd  ( S  |`  { X } )  /\  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) )
161, 15mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  ( S  |`  { X } )  /\  G dom DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
1716simp2d 1001 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
184, 17eqsstr3d 3492 1  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3426    u. cun 3427    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978   class class class wbr 4393   dom cdm 4941    |` cres 4943   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0gc0g 14489  Cntzccntz 15944   DProd cdprd 16589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-ghm 15856  df-gim 15898  df-cntz 15946  df-oppg 15972  df-lsm 16248  df-cmn 16392  df-dprd 16591
This theorem is referenced by:  dpjf  16670  dpjidcl  16671  dpjlid  16674  dpjghm  16676  dpjidclOLD  16678
  Copyright terms: Public domain W3C validator