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Theorem domunsncan 7697
Description: A singleton cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domunsncan.a  |-  A  e. 
_V
domunsncan.b  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domunsncan  |-  ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y
)  ->  ( ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )

Proof of Theorem domunsncan
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3609 . . . 4  |-  Y  C_  ( { B }  u.  Y )
2 reldom 7600 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
32brrelex2i 4894 . . . . 5  |-  ( ( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )
43adantl 472 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )
5 ssexg 4562 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  ( { B }  u.  Y
)  /\  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 674 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  Y  e.  _V )
7 brdomi 7605 . . . . 5  |-  ( ( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  E. f 
f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )
)
8 vex 3059 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
98resex 5166 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  e.  _V
10 simprr 771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y
) )
11 difss 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  C_  ( { A }  u.  X
)
12 f1ores 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  /\  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) 
C_  ( { A }  u.  X )
)  ->  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
1310, 11, 12sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
14 f1oen3g 7610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  e. 
_V  /\  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~~  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
159, 13, 14sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~~  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
16 df-f1 5605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  <->  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  /\  Fun  `' f ) )
1716simprbi 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  Fun  `' f )
18 imadif 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } ) )  =  ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  =  ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) ) )
2019ad2antll 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  =  ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) ) )
21 snex 4654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B }  e.  _V
22 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  Y  e.  _V )
23 unexg 6618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { B }  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  Y )  e.  _V )
2421, 22, 23sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( { B }  u.  Y )  e.  _V )
25 difexg 4564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { B }  u.  Y )  e.  _V  ->  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } )  e.  _V )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  e.  _V )
27 f1f 5801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y ) )
28 imassrn 5197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" ( { A }  u.  X )
)  C_  ran  f
29 frn 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  ->  ran  f  C_  ( { B }  u.  Y )
)
3028, 29syl5ss 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
) )
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
) )
3231ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( { A }  u.  X ) )  C_  ( { B }  u.  Y ) )
3332ssdifd 3580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  ( f " { A } ) ) )
34 f1fn 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  f  Fn  ( { A }  u.  X ) )
3534ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  f  Fn  ( { A }  u.  X
) )
36 domunsncan.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  e. 
_V
3736snid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
{ A }
38 elun1 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  { A }  ->  A  e.  ( { A }  u.  X
) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  e.  ( { A }  u.  X )
40 fnsnfv 5947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  ( { A }  u.  X
)  /\  A  e.  ( { A }  u.  X ) )  ->  { ( f `  A ) }  =  ( f " { A } ) )
4135, 39, 40sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  { ( f `
 A ) }  =  ( f " { A } ) )
4241difeq2d 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  =  ( ( { B }  u.  Y )  \  (
f " { A } ) ) )
4333, 42sseqtr4d 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) )
44 ssdomg 7640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { B }  u.  Y )  \  {
( f `  A
) } )  e. 
_V  ->  ( ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) ) )
4526, 43, 44sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) )
46 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( { A }  u.  X
) --> ( { B }  u.  Y )  /\  A  e.  ( { A }  u.  X
) )  ->  (
f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
4727, 39, 46sylancl 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
4847ad2antll 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
49 domunsncan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
5049snid 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
{ B }
51 elun1 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( { B }  u.  Y
) )
5250, 51mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  B  e.  ( { B }  u.  Y ) )
53 difsnen 7679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { B }  u.  Y )  e.  _V  /\  ( f `  A
)  e.  ( { B }  u.  Y
)  /\  B  e.  ( { B }  u.  Y ) )  -> 
( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
5424, 48, 52, 53syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  ~~  (
( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
55 domentr 7653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  {
( f `  A
) } )  /\  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )  -> 
( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
5645, 54, 55syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
5720, 56eqbrtrd 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
58 endomtr 7652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) 
~~  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  /\  ( f
" ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )  -> 
( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
5915, 57, 58syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
60 uncom 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A }  u.  X
)  =  ( X  u.  { A }
)
6160difeq1i 3558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  ( ( X  u.  { A } )  \  { A } )
62 difun2 3858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  u.  { A } )  \  { A } )  =  ( X  \  { A } )
6361, 62eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  ( X  \  { A } )
64 difsn 4118 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  X  -> 
( X  \  { A } )  =  X )
6563, 64syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  X  -> 
( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  X )
6665ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  =  X )
67 uncom 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { B }  u.  Y
)  =  ( Y  u.  { B }
)
6867difeq1i 3558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  ( ( Y  u.  { B } )  \  { B } )
69 difun2 3858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  u.  { B } )  \  { B } )  =  ( Y  \  { B } )
7068, 69eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  ( Y  \  { B } )
71 difsn 4118 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( Y  \  { B } )  =  Y )
7270, 71syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  Y )
7372ad2antlr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } )  =  Y )
7459, 66, 733brtr3d 4445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  X  ~<_  Y )
7574expr 624 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  (
f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  X  ~<_  Y ) )
7675exlimdv 1789 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f  f :
( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y
)  ->  X  ~<_  Y ) )
777, 76syl5 33 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  (
( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  X  ~<_  Y ) )
7877impancom 446 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  ( Y  e.  _V  ->  X  ~<_  Y ) )
796, 78mpd 15 . 2  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  X  ~<_  Y )
80 en2sn 7674 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  ~~  { B } )
8136, 49, 80mp2an 683 . . . 4  |-  { A }  ~~  { B }
82 endom 7621 . . . 4  |-  ( { A }  ~~  { B }  ->  { A }  ~<_  { B }
)
8381, 82mp1i 13 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  { A }  ~<_  { B }
)
84 simpr 467 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  X  ~<_  Y )
85 incom 3636 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  Y
)  =  ( Y  i^i  { B }
)
86 disjsn 4043 . . . . . 6  |-  ( ( Y  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  Y )
8786biimpri 211 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( Y  i^i  { B } )  =  (/) )
8885, 87syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( { B }  i^i  Y )  =  (/) )
8988ad2antlr 738 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  ( { B }  i^i  Y
)  =  (/) )
90 undom 7685 . . 3  |-  ( ( ( { A }  ~<_  { B }  /\  X  ~<_  Y )  /\  ( { B }  i^i  Y
)  =  (/) )  -> 
( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
) )
9183, 84, 89, 90syl21anc 1275 . 2  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)
9279, 91impbida 848 1  |-  ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y
)  ->  ( ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    u. cun 3413    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851   ran crn 4853    |` cres 4854   "cima 4855   Fun wfun 5594    Fn wfn 5595   -->wf 5596   -1-1->wf1 5597   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600    ~~ cen 7591    ~<_ cdom 7592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-1o 7207  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596
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