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Theorem domunsncan 7609
Description: A singleton cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domunsncan.a  |-  A  e. 
_V
domunsncan.b  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domunsncan  |-  ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y
)  ->  ( ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )

Proof of Theorem domunsncan
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3663 . . . 4  |-  Y  C_  ( { B }  u.  Y )
2 reldom 7514 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
32brrelex2i 5035 . . . . 5  |-  ( ( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )
5 ssexg 4588 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  ( { B }  u.  Y
)  /\  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 663 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  Y  e.  _V )
7 brdomi 7519 . . . . 5  |-  ( ( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  E. f 
f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )
)
8 vex 3111 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
98resex 5310 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  e.  _V
10 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y
) )
11 difss 3626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  C_  ( { A }  u.  X
)
12 f1ores 5823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  /\  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) 
C_  ( { A }  u.  X )
)  ->  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
14 f1oen3g 7523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  e. 
_V  /\  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~~  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
159, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~~  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
16 df-f1 5586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  <->  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  /\  Fun  `' f ) )
1716simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  Fun  `' f )
18 imadif 5656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } ) )  =  ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  =  ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) ) )
2019ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  =  ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) ) )
21 snex 4683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B }  e.  _V
22 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  Y  e.  _V )
23 unexg 6578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { B }  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  Y )  e.  _V )
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( { B }  u.  Y )  e.  _V )
25 difexg 4590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { B }  u.  Y )  e.  _V  ->  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } )  e.  _V )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  e.  _V )
27 f1f 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y ) )
28 imassrn 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" ( { A }  u.  X )
)  C_  ran  f
29 frn 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  ->  ran  f  C_  ( { B }  u.  Y )
)
3028, 29syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
) )
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
) )
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( { A }  u.  X ) )  C_  ( { B }  u.  Y ) )
3332ssdifd 3635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  ( f " { A } ) ) )
34 f1fn 5775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  f  Fn  ( { A }  u.  X ) )
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  f  Fn  ( { A }  u.  X
) )
36 domunsncan.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  e. 
_V
3736snid 4050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
{ A }
38 elun1 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  { A }  ->  A  e.  ( { A }  u.  X
) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  e.  ( { A }  u.  X )
40 fnsnfv 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  ( { A }  u.  X
)  /\  A  e.  ( { A }  u.  X ) )  ->  { ( f `  A ) }  =  ( f " { A } ) )
4135, 39, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  { ( f `
 A ) }  =  ( f " { A } ) )
4241difeq2d 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  =  ( ( { B }  u.  Y )  \  (
f " { A } ) ) )
4333, 42sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) )
44 ssdomg 7553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { B }  u.  Y )  \  {
( f `  A
) } )  e. 
_V  ->  ( ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) ) )
4526, 43, 44sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) )
46 ffvelrn 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( { A }  u.  X
) --> ( { B }  u.  Y )  /\  A  e.  ( { A }  u.  X
) )  ->  (
f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
4727, 39, 46sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
49 domunsncan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
5049snid 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
{ B }
51 elun1 3666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( { B }  u.  Y
) )
5250, 51mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  B  e.  ( { B }  u.  Y ) )
53 difsnen 7591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { B }  u.  Y )  e.  _V  /\  ( f `  A
)  e.  ( { B }  u.  Y
)  /\  B  e.  ( { B }  u.  Y ) )  -> 
( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
5424, 48, 52, 53syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  ~~  (
( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
55 domentr 7566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  {
( f `  A
) } )  /\  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )  -> 
( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
5645, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
5720, 56eqbrtrd 4462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
58 endomtr 7565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) 
~~  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  /\  ( f
" ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )  -> 
( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
5915, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
60 uncom 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A }  u.  X
)  =  ( X  u.  { A }
)
6160difeq1i 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  ( ( X  u.  { A } )  \  { A } )
62 difun2 3901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  u.  { A } )  \  { A } )  =  ( X  \  { A } )
6361, 62eqtri 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  ( X  \  { A } )
64 difsn 4156 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  X  -> 
( X  \  { A } )  =  X )
6563, 64syl5eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  X  -> 
( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  X )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  =  X )
67 uncom 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { B }  u.  Y
)  =  ( Y  u.  { B }
)
6867difeq1i 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  ( ( Y  u.  { B } )  \  { B } )
69 difun2 3901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  u.  { B } )  \  { B } )  =  ( Y  \  { B } )
7068, 69eqtri 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  ( Y  \  { B } )
71 difsn 4156 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( Y  \  { B } )  =  Y )
7270, 71syl5eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  Y )
7372ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } )  =  Y )
7459, 66, 733brtr3d 4471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  X  ~<_  Y )
7574expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  (
f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  X  ~<_  Y ) )
7675exlimdv 1695 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f  f :
( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y
)  ->  X  ~<_  Y ) )
777, 76syl5 32 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  (
( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  X  ~<_  Y ) )
7877impancom 440 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  ( Y  e.  _V  ->  X  ~<_  Y ) )
796, 78mpd 15 . 2  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  X  ~<_  Y )
80 en2sn 7587 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  ~~  { B } )
8136, 49, 80mp2an 672 . . . 4  |-  { A }  ~~  { B }
82 endom 7534 . . . 4  |-  ( { A }  ~~  { B }  ->  { A }  ~<_  { B }
)
8381, 82mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  { A }  ~<_  { B }
)
84 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  X  ~<_  Y )
85 incom 3686 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  Y
)  =  ( Y  i^i  { B }
)
86 disjsn 4083 . . . . . 6  |-  ( ( Y  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  Y )
8786biimpri 206 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( Y  i^i  { B } )  =  (/) )
8885, 87syl5eq 2515 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( { B }  i^i  Y )  =  (/) )
8988ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  ( { B }  i^i  Y
)  =  (/) )
90 undom 7597 . . 3  |-  ( ( ( { A }  ~<_  { B }  /\  X  ~<_  Y )  /\  ( { B }  i^i  Y
)  =  (/) )  -> 
( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
) )
9183, 84, 89, 90syl21anc 1222 . 2  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)
9279, 91impbida 829 1  |-  ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y
)  ->  ( ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   {csn 4022   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   ran crn 4995    |` cres 4996   "cima 4997   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581    ~~ cen 7505    ~<_ cdom 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510
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