MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domunsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem domunsn 7740
Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunsn  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )

Proof of Theorem domunsn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdom0 7722 . . . . 5  |-  -.  A  ~< 
(/)
2 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  (/) ) )
31, 2mtbiri 310 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B )
43con2i 124 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  =  (/) )
5 neq0 3733 . . 3  |-  ( -.  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  B )
64, 5sylib 201 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  E. z 
z  e.  B )
7 domdifsn 7673 . . . . 5  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
87adantr 472 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
9 vex 3034 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
10 en2sn 7667 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  { C }  ~~  { z } )
119, 10mpan2 685 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~~  { z } )
12 endom 7614 . . . . . 6  |-  ( { C }  ~~  {
z }  ->  { C }  ~<_  { z } )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
14 snprc 4027 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  e.  _V  <->  { C }  =  (/) )
1514biimpi 199 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  =  (/) )
16 snex 4641 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  _V
17160dom 7720 . . . . . 6  |-  (/)  ~<_  { z }
1815, 17syl6eqbr 4433 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
1913, 18pm2.61i 169 . . . 4  |-  { C }  ~<_  { z }
20 incom 3616 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )
21 disjdif 3830 . . . . . 6  |-  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )  =  (/)
2220, 21eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
23 undom 7678 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_  ( B 
\  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  /\  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  ( ( B 
\  { z } )  u.  { z } ) )
2422, 23mpan2 685 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( B  \  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  {
z } )  u. 
{ z } ) )
258, 19, 24sylancl 675 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } ) )
26 uncom 3569 . . . 4  |-  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )
27 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2827snssd 4108 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  { z }  C_  B )
29 undif 3839 . . . . 5  |-  ( { z }  C_  B  <->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3028, 29sylib 201 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3126, 30syl5eq 2517 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( B  \  { z } )  u.  { z } )  =  B )
3225, 31breqtrd 4420 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B )
336, 32exlimddv 1789 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-suc 5436  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  9095
  Copyright terms: Public domain W3C validator