MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domunsn Structured version   Unicode version

Theorem domunsn 7686
Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunsn  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )

Proof of Theorem domunsn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdom0 7668 . . . . 5  |-  -.  A  ~< 
(/)
2 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  (/) ) )
31, 2mtbiri 303 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B )
43con2i 120 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  =  (/) )
5 neq0 3804 . . 3  |-  ( -.  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  B )
64, 5sylib 196 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  E. z 
z  e.  B )
7 domdifsn 7619 . . . . 5  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
9 vex 3112 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
10 en2sn 7614 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  { C }  ~~  { z } )
119, 10mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~~  { z } )
12 endom 7561 . . . . . 6  |-  ( { C }  ~~  {
z }  ->  { C }  ~<_  { z } )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
14 snprc 4095 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  e.  _V  <->  { C }  =  (/) )
1514biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  =  (/) )
16 snex 4697 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  _V
17160dom 7666 . . . . . 6  |-  (/)  ~<_  { z }
1815, 17syl6eqbr 4493 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
1913, 18pm2.61i 164 . . . 4  |-  { C }  ~<_  { z }
20 incom 3687 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )
21 disjdif 3903 . . . . . 6  |-  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )  =  (/)
2220, 21eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
23 undom 7624 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_  ( B 
\  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  /\  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  ( ( B 
\  { z } )  u.  { z } ) )
2422, 23mpan2 671 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( B  \  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  {
z } )  u. 
{ z } ) )
258, 19, 24sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } ) )
26 uncom 3644 . . . 4  |-  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )
27 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2827snssd 4177 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  { z }  C_  B )
29 undif 3911 . . . . 5  |-  ( { z }  C_  B  <->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3028, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3126, 30syl5eq 2510 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( B  \  { z } )  u.  { z } )  =  B )
3225, 31breqtrd 4480 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B )
336, 32exlimddv 1727 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  9047
  Copyright terms: Public domain W3C validator