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Theorem domunfican 7795
Description: A finite set union cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunfican  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~~  A )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )

Proof of Theorem domunfican
Dummy variables  a 
b  c  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7566 . . . 4  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~~  B )
2 bren 7527 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( B 
~~  A  ->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
4 ssid 3508 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
5 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
65anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  <->  ( (/)  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) ) )
76anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  <-> 
( ( (/)  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) ) )
8 uneq1 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a  u.  X )  =  ( (/)  u.  X
) )
9 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  (/)  ->  ( f
" a )  =  ( f " (/) ) )
109uneq1d 3642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( f " a )  u.  Y )  =  ( ( f " (/) )  u.  Y ) )
118, 10breq12d 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f "
a )  u.  Y
)  <->  ( (/)  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" (/) )  u.  Y
) ) )
1211bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( a  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" a )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  <-> 
( ( (/)  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" (/) )  u.  Y
)  <->  X  ~<_  Y )
) )
137, 12imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f " a
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )  <-> 
( ( ( (/)  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( (/)  u.  X )  ~<_  ( ( f " (/) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) ) )
14 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  A  <->  b  C_  A ) )
1514anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  <-> 
( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) ) )
1615anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  <-> 
( ( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) ) )
17 uneq1 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
a  u.  X )  =  ( b  u.  X ) )
18 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
f " a )  =  ( f "
b ) )
1918uneq1d 3642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
( f " a
)  u.  Y )  =  ( ( f
" b )  u.  Y ) )
2017, 19breq12d 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" a )  u.  Y )  <->  ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y ) ) )
2120bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f " a )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  <-> 
( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) )
2216, 21imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( a 
C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( a  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" a )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )  <->  ( ( ( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( b  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" b )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) ) )
23 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  A ) )
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) ) )
2524anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  <->  ( (
( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) ) )
26 uneq1 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  u.  X )  =  ( ( b  u.  {
c } )  u.  X ) )
27 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( f "
a )  =  ( f " ( b  u.  { c } ) ) )
2827uneq1d 3642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( f
" a )  u.  Y )  =  ( ( f " (
b  u.  { c } ) )  u.  Y ) )
2926, 28breq12d 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f " a
)  u.  Y )  <-> 
( ( b  u. 
{ c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f " (
b  u.  { c } ) )  u.  Y ) ) )
3029bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f "
a )  u.  Y
)  <->  X  ~<_  Y )  <->  ( ( ( b  u. 
{ c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f " (
b  u.  { c } ) )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) )
3125, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f " a
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )  <-> 
( ( ( ( b  u.  { c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" ( b  u. 
{ c } ) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) ) )
32 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3332anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  <-> 
( A  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) ) )
3433anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( a  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  <-> 
( ( A  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) ) )
35 uneq1 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
a  u.  X )  =  ( A  u.  X ) )
36 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
f " a )  =  ( f " A ) )
3736uneq1d 3642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
( f " a
)  u.  Y )  =  ( ( f
" A )  u.  Y ) )
3835, 37breq12d 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" a )  u.  Y )  <->  ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A )  u.  Y ) ) )
3938bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( a  u.  X )  ~<_  ( ( f " a )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  <-> 
( ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) )
4034, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( a 
C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( a  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" a )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )  <->  ( ( ( A  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( A  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" A )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) ) )
41 uncom 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u.  X )  =  ( X  u.  (/) )
42 un0 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
4341, 42eqtri 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  X )  =  X
44 ima0 5342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" (/) )  =  (/)
4544uneq1i 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f " (/) )  u.  Y )  =  (
(/)  u.  Y )
46 uncom 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u.  Y )  =  ( Y  u.  (/) )
47 un0 3796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  u.  (/) )  =  Y
4846, 47eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u.  Y )  =  Y
4945, 48eqtri 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " (/) )  u.  Y )  =  Y
5043, 49breq12i 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  u.  X )  ~<_  ( ( f " (/) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y )
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (/)  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( (/)  u.  X )  ~<_  ( ( f " (/) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )
52 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
53 sstr2 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  ->  b 
C_  A ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  ->  b  C_  A )
5554anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) )
5655anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )
5756imim1i 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )  ->  ( ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) )
58 uncom 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  u.  { c } )  =  ( { c }  u.  b
)
5958uneq1i 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  =  ( ( { c }  u.  b )  u.  X
)
60 unass 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { c }  u.  b )  u.  X
)  =  ( { c }  u.  (
b  u.  X ) )
6159, 60eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  =  ( { c }  u.  (
b  u.  X ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
b  u.  { c } )  u.  X
)  =  ( { c }  u.  (
b  u.  X ) ) )
63 imaundi 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f
" ( b  u. 
{ c } ) )  =  ( ( f " b )  u.  ( f " { c } ) )
64 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  f : A
-1-1-onto-> B )
65 f1ofn 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f  Fn  A )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  f  Fn  A )
67 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
68 sstr2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { c }  C_  (
b  u.  { c } )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  A  ->  { c } 
C_  A ) )
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  ->  { c }  C_  A )
70 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  c  e. 
_V
7170snss 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  e.  A  <->  { c }  C_  A )
7269, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  ->  c  e.  A )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  ->  c  e.  A )
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  c  e.  A )
75 fnsnfv 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  Fn  A  /\  c  e.  A )  ->  { ( f `  c ) }  =  ( f " {
c } ) )
7666, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  { (
f `  c ) }  =  ( f " { c } ) )
7776eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( f " { c } )  =  { ( f `
 c ) } )
7877uneq2d 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
f " b )  u.  ( f " { c } ) )  =  ( ( f " b )  u.  { ( f `
 c ) } ) )
7963, 78syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( f " ( b  u. 
{ c } ) )  =  ( ( f " b )  u.  { ( f `
 c ) } ) )
8079uneq1d 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
f " ( b  u.  { c } ) )  u.  Y
)  =  ( ( ( f " b
)  u.  { ( f `  c ) } )  u.  Y
) )
81 uncom 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f " b )  u.  { ( f `
 c ) } )  =  ( { ( f `  c
) }  u.  (
f " b ) )
8281uneq1i 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f " b
)  u.  { ( f `  c ) } )  u.  Y
)  =  ( ( { ( f `  c ) }  u.  ( f " b
) )  u.  Y
)
83 unass 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { ( f `  c ) }  u.  ( f " b
) )  u.  Y
)  =  ( { ( f `  c
) }  u.  (
( f " b
)  u.  Y ) )
8482, 83eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f " b
)  u.  { ( f `  c ) } )  u.  Y
)  =  ( { ( f `  c
) }  u.  (
( f " b
)  u.  Y ) )
8580, 84syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
f " ( b  u.  { c } ) )  u.  Y
)  =  ( { ( f `  c
) }  u.  (
( f " b
)  u.  Y ) ) )
8662, 85breq12d 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
( b  u.  {
c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f " ( b  u.  { c } ) )  u.  Y
)  <->  ( { c }  u.  ( b  u.  X ) )  ~<_  ( { ( f `
 c ) }  u.  ( ( f
" b )  u.  Y ) ) ) )
87 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  -.  c  e.  b )
88 incom 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  i^i  A )  =  ( A  i^i  X
)
89 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( A  i^i  X )  =  (/) )
9088, 89syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( X  i^i  A )  =  (/) )
91 minel 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  A  /\  ( X  i^i  A )  =  (/) )  ->  -.  c  e.  X )
9274, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  -.  c  e.  X )
93 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( c  e.  b  \/  c  e.  X
)  <->  ( -.  c  e.  b  /\  -.  c  e.  X ) )
94 elun 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  ( b  u.  X )  <->  ( c  e.  b  \/  c  e.  X ) )
9593, 94xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  c  e.  ( b  u.  X )  <->  ( -.  c  e.  b  /\  -.  c  e.  X
) )
9687, 92, 95sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  -.  c  e.  ( b  u.  X
) )
97 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) )  ->  -.  c  e.  b )
98 f1of1 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  ->  f : A -1-1-> B )
10054adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  ->  b  C_  A )
101 f1elima 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  c  e.  A  /\  b  C_  A )  ->  ( ( f `
 c )  e.  ( f " b
)  <->  c  e.  b ) )
10299, 73, 100, 101syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
f `  c )  e.  ( f " b
)  <->  c  e.  b ) )
103102biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
f `  c )  e.  ( f " b
)  ->  c  e.  b ) )
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) )  ->  ( (
f `  c )  e.  ( f " b
)  ->  c  e.  b ) )
10597, 104mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u.  { c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B ) )  ->  -.  (
f `  c )  e.  ( f " b
) )
106105adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  -.  (
f `  c )  e.  ( f " b
) )
107 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
10864, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  f : A
--> B )
109108, 74ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( f `  c )  e.  B
)
110 incom 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  i^i  B )  =  ( B  i^i  Y
)
111 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( B  i^i  Y )  =  (/) )
112110, 111syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( Y  i^i  B )  =  (/) )
113 minel 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  c
)  e.  B  /\  ( Y  i^i  B )  =  (/) )  ->  -.  ( f `  c
)  e.  Y )
114109, 112, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  -.  (
f `  c )  e.  Y )
115 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( ( f `  c )  e.  ( f " b )  \/  ( f `  c )  e.  Y
)  <->  ( -.  (
f `  c )  e.  ( f " b
)  /\  -.  (
f `  c )  e.  Y ) )
116 elun 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  c )  e.  ( ( f
" b )  u.  Y )  <->  ( (
f `  c )  e.  ( f " b
)  \/  ( f `
 c )  e.  Y ) )
117115, 116xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( f `  c
)  e.  ( ( f " b )  u.  Y )  <->  ( -.  ( f `  c
)  e.  ( f
" b )  /\  -.  ( f `  c
)  e.  Y ) )
118106, 114, 117sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  -.  (
f `  c )  e.  ( ( f "
b )  u.  Y
) )
119 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 c )  e. 
_V
12070, 119domunsncan 7619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  c  e.  ( b  u.  X )  /\  -.  ( f `
 c )  e.  ( ( f "
b )  u.  Y
) )  ->  (
( { c }  u.  ( b  u.  X ) )  ~<_  ( { ( f `  c ) }  u.  ( ( f "
b )  u.  Y
) )  <->  ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y ) ) )
12196, 118, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( { c }  u.  ( b  u.  X
) )  ~<_  ( { ( f `  c
) }  u.  (
( f " b
)  u.  Y ) )  <->  ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y ) ) )
12286, 121bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
( b  u.  {
c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f " ( b  u.  { c } ) )  u.  Y
)  <->  ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y ) ) )
123 bitr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f "
( b  u.  {
c } ) )  u.  Y )  <->  ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y ) )  /\  ( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )  ->  ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" ( b  u. 
{ c } ) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )
124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  u. 
{ c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f " (
b  u.  { c } ) )  u.  Y )  <->  ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y ) )  ->  ( ( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f "
b )  u.  Y
)  <->  X  ~<_  Y )  ->  ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f "
( b  u.  {
c } ) )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) )
125122, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) ) )  ->  ( (
( b  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" b )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  ->  ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" ( b  u. 
{ c } ) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) )
126125ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  ->  ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" ( b  u. 
{ c } ) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) ) )
127126a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( (
( ( ( b  u.  { c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( b  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" b )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )  ->  ( (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  /\  (
( A  i^i  X
)  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } )  u.  X )  ~<_  ( ( f " (
b  u.  { c } ) )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) ) )
12857, 127syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( (
( ( b  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( b  u.  X )  ~<_  ( ( f " b
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )  ->  ( ( ( ( b  u.  {
c } )  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( ( b  u.  { c } )  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" ( b  u. 
{ c } ) )  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) ) )
12913, 22, 31, 40, 51, 128findcard2s 7763 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ( A  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A
)  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) ) )
130129expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  C_  A  /\  f : A -1-1-onto-> B )  ->  ( ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A )  u.  Y
)  <->  X  ~<_  Y )
) ) )
1314, 130mpani 676 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) )  -> 
( ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) ) )
1321313imp 1191 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( A  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" A )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )
133 f1ofo 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
134 foima 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -onto-> B  -> 
( f " A
)  =  B )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( f " A )  =  B )
136135uneq1d 3642 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
f " A )  u.  Y )  =  ( B  u.  Y
) )
137136breq2d 4449 . . . . . . . 8  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A )  u.  Y
)  <->  ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y ) ) )
138137bibi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( A  u.  X
)  ~<_  ( ( f
" A )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  <-> 
( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) )
1391383ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( ( A  u.  X )  ~<_  ( ( f " A )  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y )  <-> 
( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) )
140132, 139mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  (
( A  u.  X
)  ~<_  ( B  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )
1411403exp 1196 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) )  -> 
( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) ) ) )
142141exlimdv 1711 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y
)  <->  X  ~<_  Y )
) ) )
1433, 142syl5 32 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~~  A  ->  (
( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y
)  <->  X  ~<_  Y )
) ) )
144143imp31 432 1  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~~  A )  /\  ( ( A  i^i  X )  =  (/)  /\  ( B  i^i  Y )  =  (/) ) )  ->  ( ( A  u.  X )  ~<_  ( B  u.  Y )  <-> 
X  ~<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   class class class wbr 4437   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516   Fincfn 7518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522
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