Theorem domtriomlem 8872

Description: Lemma for domtriom 8873. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
domtriomlem.1	|- A e. _V
domtriomlem.2	|- B = { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) }
domtriomlem.3	|- C = ( n e. om |-> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
domtriomlem	|- ( -. A e. Fin -> om ~<_ A )

Distinct variable groups:   A, b, n, y   B, b   C, k, n   k, b   y, b

Allowed substitution hints:   A( k)   B( y, k, n)   C( y, b)

Proof of Theorem domtriomlem

Dummy variables c m j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtriomlem.2	. . . . 5 |- B = { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) }
2		domtriomlem.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
3	2	pwex 4586	. . . . . 6 |- ~P A e. _V
4		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) -> y C_ A )
5	4	ss2abi 3501	. . . . . . 7 |- { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) } C_ { y | y C_ A }
6		df-pw 3953	. . . . . . 7 |- ~P A = { y | y C_ A }
7	5, 6	sseqtr4i 3465	. . . . . 6 |- { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) } C_ ~P A
8	3, 7	ssexi 4548	. . . . 5 |- { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) } e. _V
9	1, 8	eqeltri 2525	. . . 4 |- B e. _V
10		omex 8148	. . . . 5 |- om e. _V
11	10	enref 7602	. . . 4 |- om ~~ om
12	9, 11	axcc3 8868	. . 3 |- E. b ( b Fn om /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) )
13		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ n -. A e. Fin
14		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ n A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B )
15	13, 14	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ n ( -. A e. Fin /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) )
16		nnfi 7765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> n e. Fin )
17		pwfi 7869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Fin <-> ~P n e. Fin )
18	16, 17	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ~P n e. Fin )
19		ficardom 8395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P n e. Fin -> ( card ` ~P n ) e. om )
20		isinf 7785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A e. Fin -> A. m e. om E. y ( y C_ A /\ y ~~ m ) )
21		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( card ` ~P n ) -> ( y ~~ m <-> y ~~ ( card ` ~P n ) ) )
22	21	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( card ` ~P n ) -> ( ( y C_ A /\ y ~~ m ) <-> ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) ) )
23	22	exbidv 1768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( card ` ~P n ) -> ( E. y ( y C_ A /\ y ~~ m ) <-> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) ) )
24	23	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` ~P n ) e. om -> ( A. m e. om E. y ( y C_ A /\ y ~~ m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) ) )
25	20, 24	syl5 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` ~P n ) e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) ) )
26	18, 19, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) ) )
27		finnum 8382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P n e. Fin -> ~P n e. dom card )
28		cardid2 8387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P n e. dom card -> ( card ` ~P n ) ~~ ~P n )
29		entr 7621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y ~~ ( card ` ~P n ) /\ ( card ` ~P n ) ~~ ~P n ) -> y ~~ ~P n )
30	29	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` ~P n ) ~~ ~P n -> ( y ~~ ( card ` ~P n ) -> y ~~ ~P n ) )
31	18, 27, 28, 30	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( y ~~ ( card ` ~P n ) -> y ~~ ~P n ) )
32	31	anim2d 569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) -> ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) ) )
33	32	eximdv 1764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( E. y ( y C_ A /\ y ~~ ( card ` ~P n ) ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) ) )
34	26, 33	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) ) )
35	1	neeq1i 2688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B =/= (/) <-> { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) } =/= (/) )
36		abn0 3751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { y | ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) } =/= (/) <-> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) )
37	35, 36	bitri 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( B =/= (/) <-> E. y ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) )
38	34, 37	syl6ibr 231	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( -. A e. Fin -> B =/= (/) ) )
39	38	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. Fin -> ( n e. om -> B =/= (/) ) )
40	39	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A e. Fin /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> ( n e. om -> B =/= (/) ) )
41		rsp 2754	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) -> ( n e. om -> ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) )
42	41	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A e. Fin /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> ( n e. om -> ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) )
43	40, 42	mpdd 41	. . . . . . 7 |- ( ( -. A e. Fin /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> ( n e. om -> ( b ` n ) e. B ) )
44	15, 43	ralrimi 2788	. . . . . 6 |- ( ( -. A e. Fin /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> A. n e. om ( b ` n ) e. B )
45	44	3adant2 1027	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ b Fn om /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> A. n e. om ( b ` n ) e. B )
46	45	3expib 1211	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> ( ( b Fn om /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> A. n e. om ( b ` n ) e. B ) )
47	46	eximdv 1764	. . 3 |- ( -. A e. Fin -> ( E. b ( b Fn om /\ A. n e. om ( B =/= (/) -> ( b ` n ) e. B ) ) -> E. b A. n e. om ( b ` n ) e. B ) )
48	12, 47	mpi 20	. 2 |- ( -. A e. Fin -> E. b A. n e. om ( b ` n ) e. B )
49		axcc2 8867	. . . . 5 |- E. c ( c Fn om /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
50		simp2 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> c Fn om )
51		nfra1 2769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n A. n e. om ( b ` n ) e. B
52		nfra1 2769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) )
53	51, 52	nfan 2011	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
54		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b ` n ) e. _V
55		sseq1 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( b ` n ) -> ( y C_ A <-> ( b ` n ) C_ A ) )
56		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( b ` n ) -> ( y ~~ ~P n <-> ( b ` n ) ~~ ~P n ) )
57	55, 56	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( b ` n ) -> ( ( y C_ A /\ y ~~ ~P n ) <-> ( ( b ` n ) C_ A /\ ( b ` n ) ~~ ~P n ) ) )
58	54, 57, 1	elab2 3188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` n ) e. B <-> ( ( b ` n ) C_ A /\ ( b ` n ) ~~ ~P n ) )
59	58	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b ` n ) e. B -> ( b ` n ) ~~ ~P n )
60	59	ralimi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> A. n e. om ( b ` n ) ~~ ~P n )
61		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( b ` n ) = ( b ` k ) )
62		pweq 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ~P n = ~P k )
63	61, 62	breq12d 4415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( ( b ` n ) ~~ ~P n <-> ( b ` k ) ~~ ~P k ) )
64	63	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. n e. om ( b ` n ) ~~ ~P n <-> A. k e. om ( b ` k ) ~~ ~P k )
65		peano2 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. om -> suc n e. om )
66		omelon 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- om e. On
67	66	onelssi 5531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc n e. om -> suc n C_ om )
68		ssralv 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc n C_ om -> ( A. k e. om ( b ` k ) ~~ ~P k -> A. k e. suc n ( b ` k ) ~~ ~P k ) )
69	65, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> ( A. k e. om ( b ` k ) ~~ ~P k -> A. k e. suc n ( b ` k ) ~~ ~P k ) )
70		pwsdompw 8634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. om /\ A. k e. suc n ( b ` k ) ~~ ~P k ) -> U_ k e. n ( b ` k ) ~< ( b ` n ) )
71	70	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> ( A. k e. suc n ( b ` k ) ~~ ~P k -> U_ k e. n ( b ` k ) ~< ( b ` n ) ) )
72	69, 71	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. om -> ( A. k e. om ( b ` k ) ~~ ~P k -> U_ k e. n ( b ` k ) ~< ( b ` n ) ) )
73		sdomdif 7720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U_ k e. n ( b ` k ) ~< ( b ` n ) -> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) =/= (/) )
74	72, 73	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( A. k e. om ( b ` k ) ~~ ~P k -> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) =/= (/) ) )
75	64, 74	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( b ` n ) ~~ ~P n -> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) =/= (/) ) )
76		difss 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) C_ ( b ` n )
77	54, 76	ssexi 4548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) e. _V
78		domtriomlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = ( n e. om |-> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) )
79	78	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. om /\ ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) e. _V ) -> ( C ` n ) = ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) )
80	77, 79	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( C ` n ) = ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) )
81	80	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( ( C ` n ) =/= (/) <-> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) =/= (/) ) )
82	75, 81	sylibrd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( b ` n ) ~~ ~P n -> ( C ` n ) =/= (/) ) )
83	60, 82	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( n e. om -> ( C ` n ) =/= (/) ) )
84	83	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> ( n e. om -> ( C ` n ) =/= (/) ) )
85		rsp 2754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( n e. om -> ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) )
86	85	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> ( n e. om -> ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) )
87	84, 86	mpdd 41	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> ( n e. om -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
88	53, 87	ralrimi 2788	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) )
89	88	3adant2 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) )
90	50, 89	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
91	90	3expib 1211	. . . . . 6 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( ( c Fn om /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) )
92	91	eximdv 1764	. . . . 5 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( E. c ( c Fn om /\ A. n e. om ( ( C ` n ) =/= (/) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) -> E. c ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) ) )
93	49, 92	mpi 20	. . . 4 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> E. c ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
94		simp2 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> c Fn om )
95		nfra1 2769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n )
96	51, 95	nfan 2011	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) )
97		rsp 2754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( n e. om -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
98	97	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) )
99		rsp 2754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( n e. om -> ( b ` n ) e. B ) )
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( b ` n ) e. B ) )
101	80	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. om -> ( ( c ` n ) e. ( C ` n ) <-> ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) ) )
102		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) -> ( c ` n ) e. ( b ` n ) )
103	101, 102	syl6bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. om -> ( ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. ( b ` n ) ) )
104	58	simplbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b ` n ) e. B -> ( b ` n ) C_ A )
105	104	sseld 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b ` n ) e. B -> ( ( c ` n ) e. ( b ` n ) -> ( c ` n ) e. A ) )
106	103, 105	syl9 73	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> ( ( b ` n ) e. B -> ( ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. A ) ) )
107	100, 106	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. A ) ) )
108	107	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( c ` n ) e. A ) ) )
109	98, 108	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( c ` n ) e. A ) ) )
110	109	com13 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( n e. om -> ( c ` n ) e. A ) ) )
111	110	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( n e. om -> ( c ` n ) e. A ) )
112	96, 111	ralrimi 2788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> A. n e. om ( c ` n ) e. A )
113	112	3adant2 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> A. n e. om ( c ` n ) e. A )
114		ffnfv 6049	. . . . . . . . . 10 |- ( c : om --> A <-> ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. A ) )
115	94, 113, 114	sylanbrc 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> c : om --> A )
116		nfv 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n k e. om
117		nnord 6700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. om -> Ord k )
118		nnord 6700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. om -> Ord n )
119		ordtri3or 5455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord k /\ Ord n ) -> ( k e. n \/ k = n \/ n e. k ) )
120	117, 118, 119	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. om /\ n e. om ) -> ( k e. n \/ k = n \/ n e. k ) )
121	97, 101	mpbidi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( n e. om -> ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) ) )
122	95, 121	ralrimi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> A. n e. om ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) )
123		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( c ` n ) = ( c ` k ) )
124		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k = j -> ( b ` k ) = ( b ` j ) )
125	124	cbviunv 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- U_ k e. n ( b ` k ) = U_ j e. n ( b ` j )
126		iuneq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = k -> U_ j e. n ( b ` j ) = U_ j e. k ( b ` j ) )
127	125, 126	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = k -> U_ k e. n ( b ` k ) = U_ j e. k ( b ` j ) )
128	61, 127	difeq12d 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) = ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) )
129	123, 128	eleq12d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> ( ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) <-> ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
130	129	rspccv 3147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) -> ( k e. om -> ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
131	122, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( k e. om -> ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
132	131	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. om -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
133	132	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
134		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) -> ( c ` k ) e. ( b ` k ) )
135		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> ( ( c ` k ) e. ( b ` k ) <-> ( c ` n ) e. ( b ` k ) ) )
136	134, 135	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> ( ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) -> ( c ` n ) e. ( b ` k ) ) )
137	136	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) -> ( c ` n ) e. ( b ` k ) ) )
138	133, 137	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. ( b ` k ) ) )
139	138	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( c ` n ) e. ( b ` k ) )
140		ssiun2 4321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. n -> ( b ` k ) C_ U_ k e. n ( b ` k ) )
141	140	sseld 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. n -> ( ( c ` n ) e. ( b ` k ) -> ( c ` n ) e. U_ k e. n ( b ` k ) ) )
142	139, 141	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. n -> ( ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( c ` n ) e. U_ k e. n ( b ` k ) ) )
143	142	3impib 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. n /\ ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( c ` n ) e. U_ k e. n ( b ` k ) )
144	121	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. om -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) ) )
145	144	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) ) )
146	145	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) )
147	146	eldifbd 3417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> -. ( c ` n ) e. U_ k e. n ( b ` k ) )
148	147	3adant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. n /\ ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> -. ( c ` n ) e. U_ k e. n ( b ` k ) )
149	143, 148	pm2.21dd 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. n /\ ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> k = n )
150	149	3exp 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. n -> ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) )
151		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) )
152		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j = n -> ( b ` j ) = ( b ` n ) )
153	152	ssiun2s 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. k -> ( b ` n ) C_ U_ j e. k ( b ` j ) )
154	153	sseld 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. k -> ( ( c ` n ) e. ( b ` n ) -> ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) )
155	102, 154	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. k -> ( ( c ` n ) e. ( ( b ` n ) \ U_ k e. n ( b ` k ) ) -> ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) )
156	146, 155	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. k -> ( ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) )
157	156	3impib 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. k /\ ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) )
158		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> ( ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) <-> ( c ` n ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
159		eldifn 3556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( c ` n ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) -> -. ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) )
160	158, 159	syl6bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> ( ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) -> -. ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) )
161	160	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( ( c ` k ) e. ( ( b ` k ) \ U_ j e. k ( b ` j ) ) -> -. ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) )
162	133, 161	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> -. ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) )
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. k -> ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> -. ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) ) ) )
164	163	3imp 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. k /\ ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> -. ( c ` n ) e. U_ j e. k ( b ` j ) )
165	157, 164	pm2.21dd 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. k /\ ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> k = n )
166	165	3exp 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. k -> ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) )
167	150, 151, 166	3jaoi 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. n \/ k = n \/ n e. k ) -> ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) )
168	167	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. om /\ n e. om /\ ( c ` k ) = ( c ` n ) ) -> ( ( k e. n \/ k = n \/ n e. k ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) )
169	168	3expia 1210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. om /\ n e. om ) -> ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> ( ( k e. n \/ k = n \/ n e. k ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) ) )
170	120, 169	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ n e. om ) -> ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> k = n ) ) )
171	170	com3r 82	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( ( k e. om /\ n e. om ) -> ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> k = n ) ) )
172	171	expd 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( k e. om -> ( n e. om -> ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> k = n ) ) ) )
173	95, 116, 172	ralrimd 2792	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> ( k e. om -> A. n e. om ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> k = n ) ) )
174	173	ralrimiv 2800	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) -> A. k e. om A. n e. om ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> k = n ) )
175	174	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> A. k e. om A. n e. om ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> k = n ) )
176		dff13 6159	. . . . . . . . 9 |- ( c : om -1-1-> A <-> ( c : om --> A /\ A. k e. om A. n e. om ( ( c ` k ) = ( c ` n ) -> k = n ) ) )
177	115, 175, 176	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> c : om -1-1-> A )
178		19.8a 1935	. . . . . . . 8 |- ( c : om -1-1-> A -> E. c c : om -1-1-> A )
179	177, 178	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> E. c c : om -1-1-> A )
180	2	brdom 7581	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A <-> E. c c : om -1-1-> A )
181	179, 180	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. om ( b ` n ) e. B /\ c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> om ~<_ A )
182	181	3expib 1211	. . . . 5 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> om ~<_ A ) )
183	182	exlimdv 1779	. . . 4 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> ( E. c ( c Fn om /\ A. n e. om ( c ` n ) e. ( C ` n ) ) -> om ~<_ A ) )
184	93, 183	mpd 15	. . 3 |- ( A. n e. om ( b ` n ) e. B -> om ~<_ A )
185	184	exlimiv 1776	. 2 |- ( E. b A. n e. om ( b ` n ) e. B -> om ~<_ A )
186	48, 185	syl 17	1 |- ( -. A e. Fin -> om ~<_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   \/ w3o 984   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   Ord word 5422   suc csuc 5425   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582   omcom 6692   ~~ cen 7566   ~<_ cdom 7567   ~< csdm 7568   Fincfn 7569   cardccrd 8369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598

This theorem is referenced by:  domtriom  8873