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Theorem domtriomlem 8818
Description: Lemma for domtriom 8819. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
domtriomlem.1  |-  A  e. 
_V
domtriomlem.2  |-  B  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
domtriomlem.3  |-  C  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
domtriomlem  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
Distinct variable groups:    A, b, n, y    B, b    C, k, n    k, b    y,
b
Allowed substitution hints:    A( k)    B( y, k, n)    C( y,
b)

Proof of Theorem domtriomlem
Dummy variables  c  m  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtriomlem.2 . . . . 5  |-  B  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
2 domtriomlem.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
32pwex 4630 . . . . . 6  |-  ~P A  e.  _V
4 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n )  ->  y  C_  A
)
54ss2abi 3572 . . . . . . 7  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  C_  { y  |  y  C_  A }
6 df-pw 4012 . . . . . . 7  |-  ~P A  =  { y  |  y 
C_  A }
75, 6sseqtr4i 3537 . . . . . 6  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  C_  ~P A
83, 7ssexi 4592 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  e.  _V
91, 8eqeltri 2551 . . . 4  |-  B  e. 
_V
10 omex 8056 . . . . 5  |-  om  e.  _V
1110enref 7545 . . . 4  |-  om  ~~  om
129, 11axcc3 8814 . . 3  |-  E. b
( b  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )
13 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ n  -.  A  e.  Fin
14 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B )
1513, 14nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ n
( -.  A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) )
16 nnfi 7707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  n  e.  Fin )
17 pwfi 7811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Fin  <->  ~P n  e.  Fin )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ~P n  e.  Fin )
19 ficardom 8338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P n  e.  Fin  ->  (
card `  ~P n
)  e.  om )
20 isinf 7730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. m  e.  om  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  m
) )
21 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( card `  ~P n )  ->  (
y  ~~  m  <->  y  ~~  ( card `  ~P n
) ) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( card `  ~P n )  ->  (
( y  C_  A  /\  y  ~~  m )  <-> 
( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2322exbidv 1690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( card `  ~P n )  ->  ( E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  m
)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2423rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  ~P n
)  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  m
)  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2520, 24syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ~P n
)  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2618, 19, 253syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
27 finnum 8325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P n  e.  Fin  ->  ~P n  e.  dom  card )
28 cardid2 8330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P n  e.  dom  card  -> 
( card `  ~P n
)  ~~  ~P n
)
29 entr 7564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  ~~  ( card `  ~P n )  /\  ( card `  ~P n
)  ~~  ~P n
)  ->  y  ~~  ~P n )
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  ~P n
)  ~~  ~P n  ->  ( y  ~~  ( card `  ~P n )  ->  y  ~~  ~P n ) )
3118, 27, 28, 304syl 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  (
y  ~~  ( card `  ~P n )  -> 
y  ~~  ~P n
) )
3231anim2d 565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  (
( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) )  ->  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) ) )
3332eximdv 1686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n
) ) )
3426, 33syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) ) )
351neeq1i 2752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  (/)  <->  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =/=  (/) )
36 abn0 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y  |  ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =/=  (/)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) )
3735, 36bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) )
3834, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  B  =/=  (/) ) )
3938com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( n  e.  om  ->  B  =/=  (/) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  -> 
( n  e.  om  ->  B  =/=  (/) ) )
41 rsp 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) ) )
4340, 42mpdd 40 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( b `  n
)  e.  B ) )
4415, 43ralrimi 2864 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  ->  A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B )
45443adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  b  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) )  ->  A. n  e.  om  ( b `  n )  e.  B
)
46453expib 1199 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( b  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  ->  A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B ) )
4746eximdv 1686 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. b ( b  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) )  ->  E. b A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B ) )
4812, 47mpi 17 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. b A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B
)
49 axcc2 8813 . . . . 5  |-  E. c
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )
50 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
c  Fn  om )
51 nfra1 2845 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B
52 nfra1 2845 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n A. n  e.  om  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )
5351, 52nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  /\  A. n  e.  om  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )
54 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b `
 n )  e. 
_V
55 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( b `  n )  ->  (
y  C_  A  <->  ( b `  n )  C_  A
) )
56 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( b `  n )  ->  (
y  ~~  ~P n  <->  ( b `  n ) 
~~  ~P n ) )
5755, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b `  n )  ->  (
( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n
)  <->  ( ( b `
 n )  C_  A  /\  ( b `  n )  ~~  ~P n ) ) )
5854, 57, 1elab2 3253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  n )  e.  B  <->  ( (
b `  n )  C_  A  /\  ( b `
 n )  ~~  ~P n ) )
5958simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  n )  e.  B  ->  (
b `  n )  ~~  ~P n )
6059ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  A. n  e.  om  ( b `  n )  ~~  ~P n )
61 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
b `  n )  =  ( b `  k ) )
62 pweq 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ~P n  =  ~P k
)
6361, 62breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
( b `  n
)  ~~  ~P n  <->  ( b `  k ) 
~~  ~P k ) )
6463cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  ~~  ~P n  <->  A. k  e.  om  ( b `  k )  ~~  ~P k )
65 peano2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
66 omelon 8059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  om  e.  On
6766onelssi 4986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  n  e.  om  ->  suc  n  C_  om )
68 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  n  C_  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  n ( b `  k )  ~~  ~P k ) )
6965, 67, 683syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  n ( b `  k )  ~~  ~P k ) )
70 pwsdompw 8580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( b `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k )  ~<  (
b `  n )
)
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  n ( b `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k
)  ~<  ( b `  n ) ) )
7269, 71syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k
)  ~<  ( b `  n ) ) )
73 sdomdif 7662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ k  e.  n  (
b `  k )  ~<  ( b `  n
)  ->  ( (
b `  n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  =/=  (/) )
7472, 73syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  =/=  (/) ) )
7564, 74syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  ~~  ~P n  ->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  =/=  (/) ) )
76 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  C_  (
b `  n )
7754, 76ssexi 4592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  e.  _V
78 domtriomlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
7978fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  e.  _V )  ->  ( C `  n
)  =  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) ) )
8077, 79mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( C `  n )  =  ( ( b `
 n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) ) )
8180neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  (
( C `  n
)  =/=  (/)  <->  ( (
b `  n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  =/=  (/) ) )
8275, 81sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  ~~  ~P n  ->  ( C `  n
)  =/=  (/) ) )
8360, 82syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( n  e.  om  ->  ( C `  n )  =/=  (/) ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( C `  n
)  =/=  (/) ) )
85 rsp 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) ) )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) ) )
8784, 86mpdd 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
8853, 87ralrimi 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) )
89883adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) )
9050, 89jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
91903expib 1199 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( ( c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) ) )
9291eximdv 1686 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( E. c ( c  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( C `
 n )  =/=  (/)  ->  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) ) )  ->  E. c
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) ) )
9349, 92mpi 17 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  E. c
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
94 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  c  Fn  om )
95 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )
9651, 95nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  /\  A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) )
97 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) ) )
9897com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
99 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( n  e.  om  ->  (
b `  n )  e.  B ) )
10099com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  -> 
( b `  n
)  e.  B ) )
10180eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  om  ->  (
( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  <->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) ) )
102 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c `  n )  e.  ( ( b `
 n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  ->  (
c `  n )  e.  ( b `  n
) )
103101, 102syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  om  ->  (
( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  ( b `
 n ) ) )
10458simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  n )  e.  B  ->  (
b `  n )  C_  A )
105104sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  n )  e.  B  ->  (
( c `  n
)  e.  ( b `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  A ) )
106103, 105syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  (
( b `  n
)  e.  B  -> 
( ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  A
) ) )
107100, 106syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  -> 
( ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  A
) ) )
108107com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  (
( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  ->  ( c `  n
)  e.  A ) ) )
10998, 108syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  ->  ( c `  n
)  e.  A ) ) )
110109com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  A
) ) )
111110imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  (
n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  A ) )
11296, 111ralrimi 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  A
)
1131123adant2 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  A
)
114 ffnfv 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( c : om --> A  <->  ( c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  A
) )
11594, 113, 114sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  c : om --> A )
116 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n  k  e.  om
117 nnord 6686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
118 nnord 6686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
119 ordtri3or 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  k  /\  Ord  n )  ->  (
k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k ) )
120117, 118, 119syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k
) )
12197, 101mpbidi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) ) )
12295, 121ralrimi 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) )
123 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  (
c `  n )  =  ( c `  k ) )
124 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  =  j  ->  (
b `  k )  =  ( b `  j ) )
125124cbviunv 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  U_ k  e.  n  ( b `  k )  =  U_ j  e.  n  (
b `  j )
126 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  U_ j  e.  n  ( b `  j )  =  U_ j  e.  k  (
b `  j )
)
127125, 126syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k )  =  U_ j  e.  k  (
b `  j )
)
12861, 127difeq12d 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  (
( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) )  =  ( ( b `  k )  \  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) )
129123, 128eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  (
( c `  n
)  e.  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  <->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
130129rspccv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  ->  ( k  e.  om  ->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
131122, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( k  e.  om  ->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
132131com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) ) ) )
1331323ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
134 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c `  k )  e.  ( ( b `
 k )  \  U_ j  e.  k 
( b `  j
) )  ->  (
c `  k )  e.  ( b `  k
) )
135 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( b `
 k )  <->  ( c `  n )  e.  ( b `  k ) ) )
136134, 135syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )  ->  (
c `  n )  e.  ( b `  k
) ) )
1371363ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) )  -> 
( c `  n
)  e.  ( b `
 k ) ) )
138133, 137syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  ( b `  k ) ) )
139138imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  ( b `  k ) )
140 ssiun2 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  n  ->  (
b `  k )  C_ 
U_ k  e.  n  ( b `  k
) )
141140sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  n  ->  (
( c `  n
)  e.  ( b `
 k )  -> 
( c `  n
)  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) )
142139, 141syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  n  ->  (
( ( k  e. 
om  /\  n  e.  om 
/\  ( c `  k )  =  ( c `  n ) )  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1431423impib 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
144121com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) ) ) )
1451443ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) ) )
146145imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) )
147146eldifbd 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  -.  (
c `  n )  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )
1481473adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  -.  (
c `  n )  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )
149143, 148pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  k  =  n )
1501493exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  n  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
151 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) )
152151a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
153 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  =  n  ->  (
b `  j )  =  ( b `  n ) )
154153ssiun2s 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  k  ->  (
b `  n )  C_ 
U_ j  e.  k  ( b `  j
) )
155154sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  k  ->  (
( c `  n
)  e.  ( b `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) )
156102, 155syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  k  ->  (
( c `  n
)  e.  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  ->  (
c `  n )  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j
) ) )
157146, 156syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  k  ->  (
( ( k  e. 
om  /\  n  e.  om 
/\  ( c `  k )  =  ( c `  n ) )  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) )
1581573impib 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
)
159 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )  <->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
160 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c `  n )  e.  ( ( b `
 k )  \  U_ j  e.  k 
( b `  j
) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) )
161159, 160syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) )
1621613ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) )
163133, 162syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  -.  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) )
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  k  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  -.  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) ) )
1651643imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  -.  (
c `  n )  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )
166158, 165pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  k  =  n )
1671663exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  k  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
168150, 152, 1673jaoi 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k )  ->  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `
 k )  =  ( c `  n
) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) ) )
169168com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) ) )
1701693expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  ( ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) ) ) )
171120, 170mpid 41 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
172171com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( (
k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  k  =  n ) ) )
173172expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( k  e.  om  ->  ( n  e.  om  ->  ( (
c `  k )  =  ( c `  n )  ->  k  =  n ) ) ) )
17495, 116, 173ralrimd 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( k  e.  om  ->  A. n  e.  om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) ) )
175174ralrimiv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  A. k  e.  om  A. n  e. 
om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) )
1761753ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  A. k  e.  om  A. n  e. 
om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) )
177 dff13 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( c : om -1-1-> A  <->  ( c : om --> A  /\  A. k  e.  om  A. n  e.  om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) ) )
178115, 176, 177sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  c : om -1-1-> A )
179 19.8a 1806 . . . . . . . 8  |-  ( c : om -1-1-> A  ->  E. c  c : om
-1-1-> A )
180178, 179syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  E. c 
c : om -1-1-> A
)
1812brdom 7525 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  <->  E. c  c : om -1-1-> A )
182180, 181sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  om  ~<_  A )
1831823expib 1199 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( ( c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  om  ~<_  A ) )
184183exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( E. c ( c  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  om  ~<_  A ) )
18593, 184mpd 15 . . 3  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  om  ~<_  A )
186185exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. b A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  ->  om  ~<_  A )
18748, 186syl 16 1  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Ord word 4877   suc csuc 4880   dom cdm 4999    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586   omcom 6678    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512   Fincfn 7513   cardccrd 8312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544
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