Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Unicode version

Theorem domtriom 8279
 Description: Trichotomy of equinumerosity for , proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 8150) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1
Assertion
Ref Expression
domtriom

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7192 . 2
2 isfinite 7563 . . 3
3 domtriom.1 . . . 4
4 eqid 2404 . . . 4
5 fveq2 5687 . . . . . 6
6 fveq2 5687 . . . . . . . 8
76cbviunv 4090 . . . . . . 7
8 iuneq1 4066 . . . . . . 7
97, 8syl5eq 2448 . . . . . 6
105, 9difeq12d 3426 . . . . 5
1110cbvmptv 4260 . . . 4
123, 4, 11domtriomlem 8278 . . 3
132, 12sylnbir 299 . 2
141, 13impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wa 359   wcel 1721  cab 2390  cvv 2916   cdif 3277   wss 3280  cpw 3759  ciun 4053   class class class wbr 4172   cmpt 4226  com 4804  cfv 5413   cen 7065   cdom 7066   csdm 7067  cfn 7068 This theorem is referenced by:  fin41  8280  dominf  8281 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004
 Copyright terms: Public domain W3C validator