MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Unicode version

Theorem domtriom 8279
Description: Trichotomy of equinumerosity for  om, proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 8150) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domtriom  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables  b  n  y  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7192 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  om )
2 isfinite 7563 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
3 domtriom.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 eqid 2404 . . . 4  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
5 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
b `  m )  =  ( b `  n ) )
6 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
b `  j )  =  ( b `  k ) )
76cbviunv 4090 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  m  (
b `  k )
8 iuneq1 4066 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  U_ k  e.  m  ( b `  k )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
97, 8syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
105, 9difeq12d 3426 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( b `  m
)  \  U_ j  e.  m  ( b `  j ) )  =  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1110cbvmptv 4260 . . . 4  |-  ( m  e.  om  |->  ( ( b `  m ) 
\  U_ j  e.  m  ( b `  j
) ) )  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
123, 4, 11domtriomlem 8278 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
132, 12sylnbir 299 . 2  |-  ( -.  A  ~<  om  ->  om  ~<_  A )
141, 13impbii 181 1  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   {cab 2390   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   omcom 4804   ` cfv 5413    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  fin41  8280  dominf  8281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator