Theorem domtri 5989

Description: Trichotomy law for dominance and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice.

Assertion

Ref	Expression
domtri	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))

Proof of Theorem domtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom 5987	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` A) C_ (card` B) <-> A ~<_ B))
2		cardsdom 5988	. . . . 5 |- ((B e. D /\ A e. C) -> ((card` B) e. (card` A) <-> B ~< A))
3	2	ancoms 484	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` B) e. (card` A) <-> B ~< A))
4	3	notbid 673	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (-. (card` B) e. (card` A) <-> -. B ~< A))
5		cardon 5976	. . . 4 |- (card` A) e. On
6		cardon 5976	. . . 4 |- (card` B) e. On
7		ontri1 3695	. . . 4 |- (((card` A) e. On /\ (card` B) e. On) -> ((card` A) C_ (card` B) <-> -. (card` B) e. (card` A)))
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . 3 |- ((card` A) C_ (card` B) <-> -. (card` B) e. (card` A))
9	4, 8	syl5bb 591	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` A) C_ (card` B) <-> -. B ~< A))
10	1, 9	bitr3d 589	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  ` cfv 3998   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425  cardccrd 5859

This theorem is referenced by:  entric 5990  sdomel 5999  cardsdomel 6004  ondomcard 6009  cardmin 6012  alephsucpw 6018  alephord 6023  alephsucdom 6028  cardaleph 6033  dominf 6052  cdainf 6087  aleph1re 8820  infxpidmlem12 8832  infdif 8837  infdif2 8838  domtri2 14433  tarsuc2 15245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-card 5862

Copyright terms: Public domain