MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtri Structured version   Unicode version

Theorem domtri 8962
Description: Trichotomy law for dominance and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
domtri  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem domtri
StepHypRef Expression
1 numth3 8881 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  dom  card )
2 numth3 8881 . 2  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  dom  card )
3 domtri2 8401 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
41, 2, 3syl2an 475 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   dom cdm 4822    ~<_ cdom 7551    ~< csdm 7552   cardccrd 8347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-ac2 8874
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-card 8351  df-ac 8528
This theorem is referenced by:  entric  8963  cardmin  8970  infinf  8972  konigthlem  8974  alephsucpw  8976  dominfac  8979  cfpwsdom  8990  grur1  9227  aleph1re  14185
  Copyright terms: Public domain W3C validator