MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtri Structured version   Unicode version

Theorem domtri 8824
Description: Trichotomy law for dominance and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
domtri  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem domtri
StepHypRef Expression
1 numth3 8743 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  dom  card )
2 numth3 8743 . 2  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  dom  card )
3 domtri2 8263 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4393   dom cdm 4941    ~<_ cdom 7411    ~< csdm 7412   cardccrd 8209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-ac2 8736
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-recs 6935  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-card 8213  df-ac 8390
This theorem is referenced by:  entric  8825  cardmin  8832  infinf  8834  konigthlem  8836  alephsucpw  8838  dominfac  8841  cfpwsdom  8852  grur1  9091  aleph1re  13638
  Copyright terms: Public domain W3C validator