MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Unicode version

Theorem domtr 7119
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domtr
Dummy variables  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7074 . 2  |-  Rel  ~<_
2 vex 2919 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32brdom 7079 . . 3  |-  ( x  ~<_  y  <->  E. g  g : x -1-1-> y )
4 vex 2919 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brdom 7079 . . 3  |-  ( y  ~<_  z  <->  E. f  f : y -1-1-> z )
6 eeanv 1933 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  <->  ( E. g  g : x
-1-1-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 5607 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : y -1-1-> z  /\  g : x
-1-1-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
87ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
9 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
10 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
119, 10coex 5372 . . . . . . . 8  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
12 f1eq1 5593 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : x -1-1-> z  <-> 
( f  o.  g
) : x -1-1-> z ) )
1311, 12spcev 3003 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-> z  ->  E. h  h :
x -1-1-> z )
148, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  E. h  h : x -1-1-> z )
154brdom 7079 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  z  <->  E. h  h : x -1-1-> z )
1614, 15sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
1716exlimivv 1642 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
186, 17sylbir 205 . . 3  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-> y  /\  E. f  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
193, 5, 18syl2anb 466 . 2  |-  ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  ->  x  ~<_  z )
201, 19vtoclr 4881 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547   class class class wbr 4172    o. ccom 4841   -1-1->wf1 5410    ~<_ cdom 7066
This theorem is referenced by:  endomtr  7124  domentr  7125  undom  7155  sdomdomtr  7199  domsdomtr  7201  xpen  7229  unxpdom2  7276  sucxpdom  7277  fidomdm  7347  hartogs  7469  harword  7489  unxpwdom  7513  harcard  7821  infxpenlem  7851  indcardi  7878  fodomfi2  7897  infpwfien  7899  inffien  7900  cdadom3  8024  cdainf  8028  infcda1  8029  cdalepw  8032  unctb  8041  infcdaabs  8042  infcda  8044  infdif  8045  infdif2  8046  infxp  8051  infmap2  8054  fictb  8081  cfslb2n  8104  isfin32i  8201  fin1a2lem12  8247  hsmexlem1  8262  brdom3  8362  brdom5  8363  brdom4  8364  imadomg  8368  iundomg  8372  uniimadom  8375  ondomon  8394  unirnfdomd  8398  alephval2  8403  iunctb  8405  alephexp1  8410  alephreg  8413  cfpwsdom  8415  gchdomtri  8460  canthnum  8480  canthp1lem1  8483  canthp1  8485  pwfseqlem5  8494  pwxpndom2  8496  pwxpndom  8497  pwcdandom  8498  gchcdaidm  8499  gchxpidm  8500  gchaclem  8501  gchhar  8502  gchpwdom  8505  inar1  8606  rankcf  8608  grudomon  8648  grothac  8661  rpnnen  12781  cctop  17025  1stcfb  17461  2ndcredom  17466  2ndc1stc  17467  1stcrestlem  17468  2ndcctbss  17471  2ndcdisj2  17473  2ndcomap  17474  2ndcsep  17475  dis2ndc  17476  hauspwdom  17517  tx1stc  17635  tx2ndc  17636  met2ndci  18505  opnreen  18815  rectbntr0  18816  uniiccdif  19423  dyadmbl  19445  opnmblALT  19448  mbfimaopnlem  19500  abrexdomjm  23941  ssct  24054  xpct  24055  fnct  24058  dmct  24059  cnvct  24060  mptct  24062  mptctf  24065  sigaclci  24468  sibfof  24607  abrexdom  26322  heiborlem3  26412  ttac  26997  idomsubgmo  27382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-dom 7070
  Copyright terms: Public domain W3C validator