MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Unicode version

Theorem domtr 6799
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domtr
StepHypRef Expression
1 reldom 6755 . 2  |-  Rel  ~<_
2 vex 2730 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32brdom 6760 . . 3  |-  ( x  ~<_  y  <->  E. g  g : x -1-1-> y )
4 vex 2730 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brdom 6760 . . 3  |-  ( y  ~<_  z  <->  E. f  f : y -1-1-> z )
6 eeanv 2055 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  <->  ( E. g  g : x
-1-1-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 5303 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : y -1-1-> z  /\  g : x
-1-1-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
87ancoms 441 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
9 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
10 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
119, 10coex 5122 . . . . . . . 8  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
12 f1eq1 5289 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : x -1-1-> z  <-> 
( f  o.  g
) : x -1-1-> z ) )
1311, 12cla4ev 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-> z  ->  E. h  h :
x -1-1-> z )
148, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  E. h  h : x -1-1-> z )
154brdom 6760 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  z  <->  E. h  h : x -1-1-> z )
1614, 15sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
1716exlimivv 2025 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
186, 17sylbir 206 . . 3  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-> y  /\  E. f  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
193, 5, 18syl2anb 467 . 2  |-  ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  ->  x  ~<_  z )
201, 19vtoclr 4640 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537   class class class wbr 3920    o. ccom 4584   -1-1->wf1 4589    ~<_ cdom 6747
This theorem is referenced by:  endomtr  6804  domentr  6805  undom  6835  sdomdomtr  6879  domsdomtr  6881  xpen  6909  unxpdom2  6956  sucxpdom  6957  fidomdm  7023  hartogs  7143  harword  7163  unxpwdom  7187  harcard  7495  infxpenlem  7525  indcardi  7552  fodomfi2  7571  infpwfien  7573  inffien  7574  cdadom3  7698  cdainf  7702  infcda1  7703  cdalepw  7706  unctb  7715  infcdaabs  7716  infcda  7718  infdif  7719  infdif2  7720  infxp  7725  infmap2  7728  fictb  7755  cfslb2n  7778  isfin32i  7875  fin1a2lem12  7921  hsmexlem1  7936  brdom3  8037  brdom5  8038  brdom4  8039  imadomg  8043  iundomg  8047  uniimadom  8050  ondomon  8067  alephval2  8074  iunctb  8076  alephexp1  8081  alephreg  8084  cfpwsdom  8086  gchdomtri  8131  canthnum  8151  canthp1lem1  8154  canthp1  8156  pwfseqlem5  8165  pwxpndom2  8167  pwxpndom  8168  pwcdandom  8169  gchcdaidm  8170  gchxpidm  8171  gchaclem  8172  gchhar  8173  gchpwdom  8176  inar1  8277  rankcf  8279  grudomon  8319  grothac  8332  rpnnen  12379  cctop  16575  1stcfb  17003  2ndcredom  17008  2ndc1stc  17009  1stcrestlem  17010  2ndcctbss  17013  2ndcdisj2  17015  2ndcomap  17016  2ndcsep  17017  dis2ndc  17018  hauspwdom  17059  tx1stc  17176  tx2ndc  17177  met2ndci  17900  opnreen  18168  rectbntr0  18169  uniiccdif  18765  dyadmbl  18787  opnmblALT  18790  mbfimaopnlem  18842  abrexdom  25571  heiborlem3  25703  ttac  26295  idomsubgmo  26680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-dom 6751
  Copyright terms: Public domain W3C validator