Theorem domtr 5474

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem domtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 5432	. 2 |- Rel ~<_
2		eeanv 1707	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) <-> (E.g g:x-1-1->y /\ E.f f:y-1-1->z))
3		f1co 4612	. . . . . . 7 |- ((f:y-1-1->z /\ g:x-1-1->y) -> (f o. g):x-1-1->z)
4	3	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) -> (f o. g):x-1-1->z)
5		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
6	5	f1dom 5458	. . . . . 6 |- ((f o. g):x-1-1->z -> x ~<_ z)
7	4, 6	syl 12	. . . . 5 |- ((g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) -> x ~<_ z)
8	7	19.23aivv 1675	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) -> x ~<_ z)
9	2, 8	sylbir 218	. . 3 |- ((E.g g:x-1-1->y /\ E.f f:y-1-1->z) -> x ~<_ z)
10		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
11	10	brdom 5437	. . 3 |- (x ~<_ y <-> E.g g:x-1-1->y)
12		visset 2295	. . . 4 |- z e. _V
13	12	brdom 5437	. . 3 |- (y ~<_ z <-> E.f f:y-1-1->z)
14	9, 11, 13	syl2anb 504	. 2 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ z) -> x ~<_ z)
15		domrefg 5452	. . 3 |- (x e. _V -> x ~<_ x)
16	5, 15	ax-mp 7	. 2 |- x ~<_ x
17	1, 14, 16	vtoclrbr 4033	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  -1-1->wf1 3995   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  endomtr 5479  domentr 5480  undom 5497  sdomdomtr 5532  hartog 5693  omsubsuc2 5878  fodom 5960  brdom3 5963  brdom5 5964  brdom4 5965  imadomg 5968  uniimadom 5972  sucdom 5994  unxpdomlem 5995  unxpdom2 5997  sucxpdom 5998  ondomon 6008  alephval2 6050  cdadom3 6085  cdainf 6087  infxpidmlem8 8828  infxpidmlem11 8831  infxpidmlem12 8832  infunabs 8834  infcdaabs 8835  infcda 8836  infdif 8837  infdif2 8838  infxp 8841  infmap1 8842  iunctb 8844  alephexp1 8853  cctop 8922  sndw 14428  cptarc 15242  fictb 15371  hartogOLD 15384  omsubsuc2OLD 15387  2ndc1stc 15477  2ndcctbss 15478  abrexdom 15739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain