Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domssex Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem domssex 7733
 Description: Weakening of domssex 7733 to forget the functions in favor of dominance and equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
domssex
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem domssex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7580 . 2
2 reldom 7575 . . 3
32brrelex2i 4876 . 2
4 vex 3048 . . . . . . . 8
5 f1stres 6815 . . . . . . . . . 10
65a1i 11 . . . . . . . . 9
7 difexg 4551 . . . . . . . . . . 11
87adantl 468 . . . . . . . . . 10
9 snex 4641 . . . . . . . . . 10
10 xpexg 6593 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10sylancl 668 . . . . . . . . 9
12 fex2 6748 . . . . . . . . 9
136, 11, 8, 12syl3anc 1268 . . . . . . . 8
14 unexg 6592 . . . . . . . 8
154, 13, 14sylancr 669 . . . . . . 7
16 cnvexg 6739 . . . . . . 7
1715, 16syl 17 . . . . . 6
18 rnexg 6725 . . . . . 6
1917, 18syl 17 . . . . 5
20 simpl 459 . . . . . . . 8
21 f1dm 5783 . . . . . . . . . 10
224dmex 6726 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl6eqelr 2538 . . . . . . . . 9
2423adantr 467 . . . . . . . 8
25 simpr 463 . . . . . . . 8
26 eqid 2451 . . . . . . . . 9
2726domss2 7731 . . . . . . . 8
2820, 24, 25, 27syl3anc 1268 . . . . . . 7
2928simp2d 1021 . . . . . 6
3028simp1d 1020 . . . . . . 7
31 f1oen3g 7585 . . . . . . 7
3217, 30, 31syl2anc 667 . . . . . 6
3329, 32jca 535 . . . . 5
34 sseq2 3454 . . . . . . 7
35 breq2 4406 . . . . . . 7
3634, 35anbi12d 717 . . . . . 6
3736spcegv 3135 . . . . 5
3819, 33, 37sylc 62 . . . 4
3938ex 436 . . 3
4039exlimiv 1776 . 2
411, 3, 40sylc 62 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   cun 3402   wss 3404  cpw 3951  csn 3968  cuni 4198   class class class wbr 4402   cid 4744   cxp 4832  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835   cres 4836   ccom 4838  wf 5578  wf1 5579  wf1o 5581  c1st 6791   cen 7566   cdom 7567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-en 7570  df-dom 7571 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator