Theorem domnsym 7540

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	|- ( A ~<_ B -> -. B ~< A )

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7442	. 2 |- ( A ~<_ B <-> ( A ~< B \/ A ~~ B ) )
2		sdomnsym 7539	. . 3 |- ( A ~< B -> -. B ~< A )
3		sdomnen 7441	. . . 4 |- ( B ~< A -> -. B ~~ A )
4		ensym 7461	. . . 4 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
5	3, 4	nsyl3 119	. . 3 |- ( A ~~ B -> -. B ~< A )
6	2, 5	jaoi 379	. 2 |- ( ( A ~< B \/ A ~~ B ) -> -. B ~< A )
7	1, 6	sylbi 195	1 |- ( A ~<_ B -> -. B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   class class class wbr 4393   ~~ cen 7410   ~<_ cdom 7411   ~< csdm 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416

This theorem is referenced by:  sdom0  7546  sdomdomtr  7547  domsdomtr  7549  sdomdif  7562  onsdominel  7563  nndomo  7608  sdom1  7616  fofinf1o  7696  carddom2  8251  fidomtri  8267  fidomtri2  8268  infxpenlem  8284  alephordi  8348  infdif  8482  infdif2  8483  cfslbn  8540  cfslb2n  8541  fincssdom  8596  fin45  8665  domtriom  8716  alephval2  8840  alephreg  8850  pwcfsdom  8851  cfpwsdom  8852  pwfseqlem3  8931  gchpwdom  8941  gchaleph  8942  hargch  8944  gchhar  8950  winainflem  8964  rankcf  9048  tskcard  9052  vdwlem12  14164  odinf  16177  rectbntr0  20534  erdszelem10  27225  finminlem  28654  fphpd  29296