Theorem domnsym 7704

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	|- ( A ~<_ B -> -. B ~< A )

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7606	. 2 |- ( A ~<_ B <-> ( A ~< B \/ A ~~ B ) )
2		sdomnsym 7703	. . 3 |- ( A ~< B -> -. B ~< A )
3		sdomnen 7605	. . . 4 |- ( B ~< A -> -. B ~~ A )
4		ensym 7625	. . . 4 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
5	3, 4	nsyl3 122	. . 3 |- ( A ~~ B -> -. B ~< A )
6	2, 5	jaoi 380	. 2 |- ( ( A ~< B \/ A ~~ B ) -> -. B ~< A )
7	1, 6	sylbi 198	1 |- ( A ~<_ B -> -. B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 369   class class class wbr 4426   ~~ cen 7574   ~<_ cdom 7575   ~< csdm 7576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580

This theorem is referenced by:  sdom0  7710  sdomdomtr  7711  domsdomtr  7713  sdomdif  7726  onsdominel  7727  nndomo  7772  sdom1  7778  fofinf1o  7858  carddom2  8410  fidomtri  8426  fidomtri2  8427  infxpenlem  8443  alephordi  8503  infdif  8637  infdif2  8638  cfslbn  8695  cfslb2n  8696  fincssdom  8751  fin45  8820  domtriom  8871  alephval2  8995  alephreg  9005  pwcfsdom  9006  cfpwsdom  9007  pwfseqlem3  9084  gchpwdom  9094  gchaleph  9095  hargch  9097  gchhar  9103  winainflem  9117  rankcf  9201  tskcard  9205  vdwlem12  14905  odinf  17152  rectbntr0  21761  erdszelem10  29711  finminlem  30759  fphpd  35371