Theorem domnsym 7633

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	|- ( A ~<_ B -> -. B ~< A )

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7535	. 2 |- ( A ~<_ B <-> ( A ~< B \/ A ~~ B ) )
2		sdomnsym 7632	. . 3 |- ( A ~< B -> -. B ~< A )
3		sdomnen 7534	. . . 4 |- ( B ~< A -> -. B ~~ A )
4		ensym 7554	. . . 4 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
5	3, 4	nsyl3 119	. . 3 |- ( A ~~ B -> -. B ~< A )
6	2, 5	jaoi 379	. 2 |- ( ( A ~< B \/ A ~~ B ) -> -. B ~< A )
7	1, 6	sylbi 195	1 |- ( A ~<_ B -> -. B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   class class class wbr 4440   ~~ cen 7503   ~<_ cdom 7504   ~< csdm 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509

This theorem is referenced by:  sdom0  7639  sdomdomtr  7640  domsdomtr  7642  sdomdif  7655  onsdominel  7656  nndomo  7701  sdom1  7709  fofinf1o  7790  carddom2  8347  fidomtri  8363  fidomtri2  8364  infxpenlem  8380  alephordi  8444  infdif  8578  infdif2  8579  cfslbn  8636  cfslb2n  8637  fincssdom  8692  fin45  8761  domtriom  8812  alephval2  8936  alephreg  8946  pwcfsdom  8947  cfpwsdom  8948  pwfseqlem3  9027  gchpwdom  9037  gchaleph  9038  hargch  9040  gchhar  9046  winainflem  9060  rankcf  9144  tskcard  9148  vdwlem12  14358  odinf  16374  rectbntr0  21065  erdszelem10  28270  finminlem  29700  fphpd  30341