MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnmuln0 Structured version   Unicode version

Theorem domnmuln0 17503
Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
domneq0.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
domneq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
domnmuln0  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  .x.  Y )  =/= 
.0.  )

Proof of Theorem domnmuln0
StepHypRef Expression
1 an4 820 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  =/= 
.0.  ) )  <->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  Y  =/=  .0.  )
) )
2 domneq0.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 domneq0.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 domneq0.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
52, 3, 4domneq0 17502 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. Domn  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  ) ) )
653expb 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0.  <->  ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  ) ) )
76necon3abid 2698 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  =/= 
.0. 
<->  -.  ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  ) ) )
8 neanior 2777 . . . . . 6  |-  ( ( X  =/=  .0.  /\  Y  =/=  .0.  )  <->  -.  ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  )
)
97, 8syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  Y  =/=  .0.  )  <->  ( X  .x.  Y )  =/=  .0.  ) )
109biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  Y  =/=  .0.  )  ->  ( X  .x.  Y )  =/= 
.0.  ) )
1110expimpd 603 . . 3  |-  ( R  e. Domn  ->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  Y  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  .x.  Y )  =/=  .0.  ) )
121, 11syl5bi 217 . 2  |-  ( R  e. Domn  ->  ( ( ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  .x.  Y )  =/= 
.0.  ) )
13123impib 1186 1  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  .x.  Y )  =/= 
.0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   .rcmulr 14362   0gc0g 14501  Domncdomn 17484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mgp 16724  df-rng 16780  df-nzr 17473  df-domn 17488
This theorem is referenced by:  abvn0b  17507  deg1mhm  29746  domnmsuppn0  30953
  Copyright terms: Public domain W3C validator