Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domnmsuppn0 Structured version   Unicode version

Theorem domnmsuppn0 32052
 Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0 Domn supp supp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7440 . . . . 5
2 fdm 5734 . . . . . 6
32eqcomd 2475 . . . . 5
41, 3syl 16 . . . 4
543ad2ant3 1019 . . 3 Domn
6 oveq2 6291 . . . . . . 7
7 domnrng 17732 . . . . . . . . . . . 12 Domn
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11 Domn
9 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
108, 9anim12i 566 . . . . . . . . . 10 Domn
11103adant3 1016 . . . . . . . . 9 Domn
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14rngrz 17032 . . . . . . . . 9
1611, 15syl 16 . . . . . . . 8 Domn
1716adantr 465 . . . . . . 7 Domn
186, 17sylan9eqr 2530 . . . . . 6 Domn
1918ex 434 . . . . 5 Domn
2019necon3d 2691 . . . 4 Domn
21 simpl1l 1047 . . . . . . 7 Domn Domn
2221adantr 465 . . . . . 6 Domn Domn
23 simpll2 1036 . . . . . 6 Domn
24 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11
2524ex 434 . . . . . . . . . 10
261, 25syl 16 . . . . . . . . 9
27263ad2ant3 1019 . . . . . . . 8 Domn
2827imp 429 . . . . . . 7 Domn
2928adantr 465 . . . . . 6 Domn
30 simpr 461 . . . . . 6 Domn
3112, 13, 14domnmuln0 17734 . . . . . 6 Domn
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1232 . . . . 5 Domn
3332ex 434 . . . 4 Domn
3420, 33impbid 191 . . 3 Domn
355, 34rabeqbidva 3109 . 2 Domn
36 fveq2 5865 . . . . 5
3736oveq2d 6299 . . . 4
3837cbvmptv 4538 . . 3
39 simp1r 1021 . . 3 Domn
40 fvex 5875 . . . 4
4140a1i 11 . . 3 Domn
42 ovex 6308 . . . 4
4342a1i 11 . . 3 Domn
4438, 39, 41, 43mptsuppd 6923 . 2 Domn supp
45 ffun 5732 . . . . 5
461, 45syl 16 . . . 4
47463ad2ant3 1019 . . 3 Domn
48 simp3 998 . . 3 Domn
49 suppval1 6907 . . 3 supp
5047, 48, 41, 49syl3anc 1228 . 2 Domn supp
5135, 44, 503eqtr4d 2518 1 Domn supp supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  crab 2818  cvv 3113   cmpt 4505   cdm 4999   wfun 5581  wf 5583  cfv 5587  (class class class)co 6283   supp csupp 6901   cmap 7420  cbs 14489  cmulr 14555  c0g 14694  crg 16995  Domncdomn 17715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mgp 16941  df-rng 16997  df-nzr 17700  df-domn 17719 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator