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Theorem domnmsuppn0 32052
Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  ( A supp  ( 0g
`  M ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, C    v, M    v, R    v, X    v, V

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7440 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
2 fdm 5734 . . . . . 6  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
32eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  ->  V  =  dom  A )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  V  =  dom  A )
543ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  V  =  dom  A )
6 oveq2 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  w )  =  ( 0g `  M )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 w ) )  =  ( C ( .r `  M ) ( 0g `  M
) ) )
7 domnrng 17732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e. Domn  ->  M  e.  Ring )
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  ->  M  e.  Ring )
9 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  C  e.  R )
108, 9anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) ) )  ->  ( M  e.  Ring  /\  C  e.  R ) )
11103adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( M  e.  Ring  /\  C  e.  R ) )
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( Base `  M
)
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  M )  =  ( .r `  M
)
14 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
1512, 13, 14rngrz 17032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Ring  /\  C  e.  R )  ->  ( C ( .r `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( 0g `  M ) )
1611, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( C
( .r `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  ( C ( .r `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( 0g `  M ) )
186, 17sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =  ( 0g
`  M ) )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) )  =  ( 0g `  M ) )
1918ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( A `  w
)  =  ( 0g
`  M )  -> 
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =  ( 0g
`  M ) ) )
2019necon3d 2691 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) )
21 simpl1l 1047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  M  e. Domn )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  M  e. Domn )
23 simpll2 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) ) )
24 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : V --> R  /\  w  e.  V )  ->  ( A `  w
)  e.  R )
2524ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A : V --> R  -> 
( w  e.  V  ->  ( A `  w
)  e.  R ) )
261, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
w  e.  V  -> 
( A `  w
)  e.  R ) )
27263ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( w  e.  V  ->  ( A `
 w )  e.  R ) )
2827imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  ( A `  w )  e.  R )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( A `  w )  e.  R
)
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) )
3112, 13, 14domnmuln0 17734 . . . . . 6  |-  ( ( M  e. Domn  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  ( ( A `  w )  e.  R  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) )  ->  ( C
( .r `  M
) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g `  M
) )
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) )  =/=  ( 0g `  M ) )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g
`  M ) ) )
3420, 33impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
355, 34rabeqbidva 3109 . 2  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  { w  e.  V  |  ( C ( .r `  M ) ( A `
 w ) )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { w  e.  dom  A  |  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) } )
36 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  ( A `  v )  =  ( A `  w ) )
3736oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( v  =  w  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) )  =  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) ) )
3837cbvmptv 4538 . . 3  |-  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M
) ( A `  v ) ) )  =  ( w  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) ) )
39 simp1r 1021 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  V  e.  X )
40 fvex 5875 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
4140a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  M )  e.  _V )
42 ovex 6308 . . . 4  |-  ( C ( .r `  M
) ( A `  w ) )  e. 
_V
4342a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 w ) )  e.  _V )
4438, 39, 41, 43mptsuppd 6923 . 2  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { w  e.  V  |  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) )  =/=  ( 0g `  M ) } )
45 ffun 5732 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  ->  Fun  A )
461, 45syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
47463ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  A )
48 simp3 998 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
49 suppval1 6907 . . 3  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { w  e. 
dom  A  |  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M
) } )
5047, 48, 41, 49syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { w  e.  dom  A  |  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) } )
5135, 44, 503eqtr4d 2518 1  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  ( A supp  ( 0g
`  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Fun wfun 5581   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Basecbs 14489   .rcmulr 14555   0gc0g 14694   Ringcrg 16995  Domncdomn 17715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mgp 16941  df-rng 16997  df-nzr 17700  df-domn 17719
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