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Theorem domnmsuppn0 33162
Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  ( A supp  ( 0g
`  M ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, C    v, M    v, R    v, X    v, V

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7359 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
2 fdm 5643 . . . . . 6  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
32eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  ->  V  =  dom  A )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  V  =  dom  A )
543ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  V  =  dom  A )
6 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  w )  =  ( 0g `  M )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 w ) )  =  ( C ( .r `  M ) ( 0g `  M
) ) )
7 domnring 18058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e. Domn  ->  M  e.  Ring )
87adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  ->  M  e.  Ring )
9 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  C  e.  R )
108, 9anim12i 564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) ) )  ->  ( M  e.  Ring  /\  C  e.  R ) )
11103adant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( M  e.  Ring  /\  C  e.  R ) )
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( Base `  M
)
13 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  M )  =  ( .r `  M
)
14 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
1512, 13, 14ringrz 17349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Ring  /\  C  e.  R )  ->  ( C ( .r `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( 0g `  M ) )
1611, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( C
( .r `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
1716adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  ( C ( .r `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( 0g `  M ) )
186, 17sylan9eqr 2445 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =  ( 0g
`  M ) )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) )  =  ( 0g `  M ) )
1918ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( A `  w
)  =  ( 0g
`  M )  -> 
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =  ( 0g
`  M ) ) )
2019necon3d 2606 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) )
21 simpl1l 1045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  M  e. Domn )
2221adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  M  e. Domn )
23 simpll2 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) ) )
24 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : V --> R  /\  w  e.  V )  ->  ( A `  w
)  e.  R )
2524ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( A : V --> R  -> 
( w  e.  V  ->  ( A `  w
)  e.  R ) )
261, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
w  e.  V  -> 
( A `  w
)  e.  R ) )
27263ad2ant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( w  e.  V  ->  ( A `
 w )  e.  R ) )
2827imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  ( A `  w )  e.  R )
2928adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( A `  w )  e.  R
)
30 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) )
3112, 13, 14domnmuln0 18060 . . . . . 6  |-  ( ( M  e. Domn  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  ( ( A `  w )  e.  R  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) )  ->  ( C
( .r `  M
) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g `  M
) )
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  w  e.  V )  /\  ( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) )  =/=  ( 0g `  M ) )
3332ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( A `  w
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g
`  M ) ) )
3420, 33impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  (
( C ( .r
`  M ) ( A `  w ) )  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
355, 34rabeqbidva 3030 . 2  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  { w  e.  V  |  ( C ( .r `  M ) ( A `
 w ) )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { w  e.  dom  A  |  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) } )
36 fveq2 5774 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  ( A `  v )  =  ( A `  w ) )
3736oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( v  =  w  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) )  =  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) ) )
3837cbvmptv 4458 . . 3  |-  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M
) ( A `  v ) ) )  =  ( w  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) ) )
39 simp1r 1019 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  V  e.  X )
40 fvex 5784 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
4140a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  M )  e.  _V )
42 ovex 6224 . . . 4  |-  ( C ( .r `  M
) ( A `  w ) )  e. 
_V
4342a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X
)  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V
) )  /\  w  e.  V )  ->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 w ) )  e.  _V )
4438, 39, 41, 43mptsuppd 6841 . 2  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { w  e.  V  |  ( C ( .r `  M ) ( A `  w
) )  =/=  ( 0g `  M ) } )
45 elmapfun 7361 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
46453ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  A )
47 simp3 996 . . 3  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
48 suppval1 6823 . . 3  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { w  e. 
dom  A  |  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M
) } )
4946, 47, 41, 48syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { w  e.  dom  A  |  ( A `  w )  =/=  ( 0g `  M ) } )
5035, 44, 493eqtr4d 2433 1  |-  ( ( ( M  e. Domn  /\  V  e.  X )  /\  ( C  e.  R  /\  C  =/=  ( 0g `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  ( A supp  ( 0g
`  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {crab 2736   _Vcvv 3034    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   Fun wfun 5490   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supp csupp 6817    ^m cmap 7338   Basecbs 14634   .rcmulr 14703   0gc0g 14847   Ringcrg 17311  Domncdomn 18041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mgp 17255  df-ring 17313  df-nzr 18019  df-domn 18045
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