Theorem domncnt 14624

Description: Domain of the intersection of the inclusion with a square cross product.

Hypothesis

Ref	Expression
domncnt.1	|- C = {<.x, y>. | x C_ y}

Assertion

Ref	Expression
domncnt	|- dom ( C i^i (A X. A)) = A

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem domncnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncnt.1	. . . 4 |- C = {<.x, y>. | x C_ y}
2		df-xp 4000	. . . 4 |- (A X. A) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. A)}
3	1, 2	ineq12i 2794	. . 3 |- (C i^i (A X. A)) = ({<.x, y>. | x C_ y} i^i {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. A)})
4	3	dmeqi 4158	. 2 |- dom ( C i^i (A X. A)) = dom ({<.x, y>. | x C_ y} i^i {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. A)})
5		inopab 4108	. . . 4 |- ({<.x, y>. | x C_ y} i^i {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. A)}) = {<.x, y>. | (x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A))}
6		simprl 450	. . . . . . 7 |- ((x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)) -> x e. A)
7		simprr 451	. . . . . . . 8 |- ((x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)) -> y e. A)
8		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)) -> x C_ y)
9	7, 8	jca 310	. . . . . . 7 |- ((x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (y e. A /\ x C_ y))
10	6, 9	jca 310	. . . . . 6 |- ((x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)))
11		simprr 451	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)) -> x C_ y)
12		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)) -> x e. A)
13		simprl 450	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)) -> y e. A)
14	12, 13	jca 310	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)) -> (x e. A /\ y e. A))
15	11, 14	jca 310	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)) -> (x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)))
16	10, 15	impbii 174	. . . . 5 |- ((x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A)) <-> (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y)))
17	16	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x C_ y /\ (x e. A /\ y e. A))} = {<.x, y>. | (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y))}
18	5, 17	eqtri 1908	. . 3 |- ({<.x, y>. | x C_ y} i^i {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. A)}) = {<.x, y>. | (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y))}
19	18	dmeqi 4158	. 2 |- dom ({<.x, y>. | x C_ y} i^i {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. A)}) = dom {<.x, y>. | (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y))}
20		ssid 2634	. . . . . 6 |- x C_ x
21		sseq2 2639	. . . . . . 7 |- (y = x -> (x C_ y <-> x C_ x))
22	21	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ x C_ x) -> E.y e. A x C_ y)
23	20, 22	mpan2 760	. . . . 5 |- (x e. A -> E.y e. A x C_ y)
24		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.y e. A x C_ y <-> E.y(y e. A /\ x C_ y))
25	23, 24	sylib 215	. . . 4 |- (x e. A -> E.y(y e. A /\ x C_ y))
26	25	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. A E.y(y e. A /\ x C_ y)
27		dmopab3 4169	. . 3 |- (A.x e. A E.y(y e. A /\ x C_ y) <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y))} = A)
28	26, 27	mpbi 206	. 2 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ (y e. A /\ x C_ y))} = A
29	4, 19, 28	3eqtri 1912	1 |- dom ( C i^i (A X. A)) = A

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986

This theorem is referenced by:  toplat 14638

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-dm 4004

Copyright terms: Public domain