MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Unicode version

Theorem domfi 7741
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem domfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7530 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  <->  E. x
( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) ) )
2 ssfi 7740 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
32adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  e.  Fin )
4 enfii 7737 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  B  ~~  x )  ->  B  e.  Fin )
54adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
63, 5sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
76ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( B  ~~  x  /\  x  C_  A )  ->  B  e.  Fin ) )
87exlimdv 1700 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. x ( B  ~~  x  /\  x  C_  A
)  ->  B  e.  Fin ) )
91, 8sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  ->  B  e.  Fin ) )
109imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1596    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-om 6685  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  xpfir  7742  dmfi  7803  fofi  7806  pwfilem  7814  pwfi  7815  sdom2en01  8682  isfin1-2  8765  fin67  8775  fin1a2lem9  8788  gchcda1  9034  hashdomi  12416  symggen  16301  cmpsub  19694  ufinffr  20193  alexsubALT  20314  ovolicc2lem4  21694  aannenlem1  22486  ffsrn  27252  harinf  30608  kelac2lem  30642
  Copyright terms: Public domain W3C validator