MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Unicode version

Theorem domfi 7790
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem domfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7582 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  <->  E. x
( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) ) )
2 ssfi 7789 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
32adantrl 720 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  e.  Fin )
4 enfii 7786 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  B  ~~  x )  ->  B  e.  Fin )
54adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
63, 5sylancom 671 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
76ex 435 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( B  ~~  x  /\  x  C_  A )  ->  B  e.  Fin ) )
87exlimdv 1768 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. x ( B  ~~  x  /\  x  C_  A
)  ->  B  e.  Fin ) )
91, 8sylbid 218 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  ->  B  e.  Fin ) )
109imp 430 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   E.wex 1659    e. wcel 1867    C_ wss 3433   class class class wbr 4417    ~~ cen 7565    ~<_ cdom 7566   Fincfn 7568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-om 6698  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-fin 7572
This theorem is referenced by:  xpfir  7791  dmfi  7851  fofi  7857  pwfilem  7865  pwfi  7866  sdom2en01  8721  isfin1-2  8804  fin67  8814  fin1a2lem9  8827  gchcda1  9070  hashdomi  12545  symggen  17055  cmpsub  20339  ufinffr  20868  alexsubALT  20990  ovolicc2lem4OLD  22367  ovolicc2lem4  22368  aannenlem1  23175  ffsrn  28183  locfinreflem  28532  harinf  35628  kelac2lem  35661  disjinfi  37124
  Copyright terms: Public domain W3C validator