MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Structured version   Unicode version

Theorem domentr 7373
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 7341 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 domtr 7367 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan2 474 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4297    ~~ cen 7312    ~<_ cdom 7313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-f1o 5430  df-en 7316  df-dom 7317
This theorem is referenced by:  domdifsn  7399  xpdom1g  7413  domunsncan  7416  sdomdomtr  7449  domen2  7459  mapdom2  7487  php  7500  unxpdom2  7526  sucxpdom  7527  xpfir  7540  fodomfi  7595  cardsdomelir  8148  infxpenlem  8185  infpwfien  8237  inffien  8238  mappwen  8287  iunfictbso  8289  cdaxpdom  8363  cdainflem  8365  cdainf  8366  cdalepw  8370  ficardun2  8377  unctb  8379  infcdaabs  8380  infunabs  8381  infcda  8382  infdif  8383  infxpdom  8385  pwcdadom  8390  infmap2  8392  fictb  8419  cfslb  8440  fin1a2lem11  8584  unirnfdomd  8736  iunctb  8743  alephreg  8751  cfpwsdom  8753  gchdomtri  8801  canthp1lem1  8824  pwfseqlem5  8835  pwxpndom  8838  gchcdaidm  8840  gchxpidm  8841  gchpwdom  8842  gchhar  8851  inttsk  8946  inar1  8947  tskcard  8953  znnen  13500  qnnen  13501  rpnnen  13514  rexpen  13515  aleph1irr  13533  cygctb  16373  1stcfb  19054  2ndcredom  19059  2ndcctbss  19064  hauspwdom  19110  tx1stc  19228  tx2ndc  19229  met1stc  20101  met2ndci  20102  re2ndc  20383  opnreen  20413  ovolctb2  20980  ovolfi  20982  uniiccdif  21063  dyadmbl  21085  opnmblALT  21088  vitali  21098  mbfimaopnlem  21138  mbfsup  21147  aannenlem3  21801  xpct  26015  fnct  26018  dmvlsiga  26577  mblfinlem1  28433  finminlem  28518  pellexlem4  29178  pellexlem5  29179
  Copyright terms: Public domain W3C validator