Theorem domen1 7453

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	|- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7358	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		endomtr 7367	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
3	1, 2	sylan 471	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
4		endomtr 7367	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
5	3, 4	impbida 828	1 |- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   class class class wbr 4292   ~~ cen 7307   ~<_ cdom 7308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  7803  carddomi2  8140  cdadom2  8356  cdainf  8361  cdalepw  8365  pwcdadom  8385  gchpwdom  8837  hargch  8840  dis2ndc  19064