Theorem domen1 7649

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	|- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7554	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		endomtr 7563	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
3	1, 2	sylan 471	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
4		endomtr 7563	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
5	3, 4	impbida 829	1 |- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   class class class wbr 4440   ~~ cen 7503   ~<_ cdom 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  8003  carddomi2  8340  cdadom2  8556  cdainf  8561  cdalepw  8565  pwcdadom  8585  gchpwdom  9037  hargch  9040  dis2ndc  19720