Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom2lem Structured version   Unicode version

Theorem dom2lem 7545
 Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1
dom2d.2
Assertion
Ref Expression
dom2lem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4
21ralrimiv 2869 . . 3
3 eqid 2460 . . . 4
43fmpt 6033 . . 3
52, 4sylib 196 . 2
61imp 429 . . . . . . 7
73fvmpt2 5948 . . . . . . . 8
87adantll 713 . . . . . . 7
96, 8mpdan 668 . . . . . 6
109adantrr 716 . . . . 5
11 nfv 1678 . . . . . . . 8
12 nffvmpt1 5865 . . . . . . . . 9
1312nfeq1 2637 . . . . . . . 8
1411, 13nfim 1862 . . . . . . 7
15 eleq1 2532 . . . . . . . . . 10
1615anbi2d 703 . . . . . . . . 9
1716imbi1d 317 . . . . . . . 8
1815anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
19 anidm 644 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
2120anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
22 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
24 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
2625biimparc 487 . . . . . . . . . . . 12
2723, 26eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . 11
2827ex 434 . . . . . . . . . 10
2921, 28sylbird 235 . . . . . . . . 9
3029pm5.74d 247 . . . . . . . 8
3117, 30bitrd 253 . . . . . . 7
3214, 31, 9chvar 1975 . . . . . 6
3332adantrl 715 . . . . 5
3410, 33eqeq12d 2482 . . . 4
3525biimpd 207 . . . 4
3634, 35sylbid 215 . . 3
3736ralrimivva 2878 . 2
38 nfmpt1 4529 . . 3
39 nfcv 2622 . . 3
4038, 39dff13f 6146 . 2
415, 37, 40sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807   cmpt 4498  wf 5575  wf1 5576  cfv 5579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fv 5587 This theorem is referenced by:  dom2d  7546  dom3d  7547  ixpfi2  7807  infxpenc2lem1  8385  dfac12lem2  8513  4sqlem11  14321  odf1o1  16381  odf1o2  16382  dis2ndc  19720  hauspwpwf1  20216  itg1addlem4  21834  basellem3  23077  fsumvma  23209  dchrisum0fno1  23417
 Copyright terms: Public domain W3C validator