MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom2lem Structured version   Unicode version

Theorem dom2lem 7545
Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
dom2d.2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dom2lem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
21ralrimiv 2869 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
3 eqid 2460 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
43fmpt 6033 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
52, 4sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
61imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
73fvmpt2 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
87adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
96, 8mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
109adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
11 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A )
12 nffvmpt1 5865 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )
1312nfeq1 2637 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D
1411, 13nfim 1862 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
15 eleq1 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1615anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
1716imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  C ) ) )
1815anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
19 anidm 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  y  e.  A )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  y  e.  A
) )
2120anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  <->  ( ph  /\  y  e.  A )
) )
22 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
24 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  <-> 
x  =  y ) )
2625biimparc 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  C  =  D )
2723, 26eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) )
2827ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
2921, 28sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
3029pm5.74d 247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3117, 30bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3214, 31, 9chvar 1975 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  D )
3332adantrl 715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
3410, 33eqeq12d 2482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  <->  C  =  D ) )
3525biimpd 207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  ->  x  =  y ) )
3634, 35sylbid 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
3736ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
38 nfmpt1 4529 . . 3  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
39 nfcv 2622 . . 3  |-  F/_ y
( x  e.  A  |->  C )
4038, 39dff13f 6146 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B  <->  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
415, 37, 40sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   -1-1->wf1 5576   ` cfv 5579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fv 5587
This theorem is referenced by:  dom2d  7546  dom3d  7547  ixpfi2  7807  infxpenc2lem1  8385  dfac12lem2  8513  4sqlem11  14321  odf1o1  16381  odf1o2  16382  dis2ndc  19720  hauspwpwf1  20216  itg1addlem4  21834  basellem3  23077  fsumvma  23209  dchrisum0fno1  23417
  Copyright terms: Public domain W3C validator