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Theorem dom2lem 7548
Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
dom2d.2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dom2lem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
21ralrimiv 2866 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
43fmpt 6028 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
52, 4sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
61imp 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
73fvmpt2 5939 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
87adantll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
96, 8mpdan 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
109adantrr 714 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
11 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A )
12 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )
1312nfeq1 2631 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D
1411, 13nfim 1925 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
15 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1615anbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
1716imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  C ) ) )
1815anbi1d 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
19 anidm 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  y  e.  A )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  y  e.  A
) )
2120anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  <->  ( ph  /\  y  e.  A )
) )
22 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
24 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
2524imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  <-> 
x  =  y ) )
2625biimparc 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  C  =  D )
2723, 26eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) )
2827ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
2921, 28sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
3029pm5.74d 247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3117, 30bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3214, 31, 9chvar 2018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  D )
3332adantrl 713 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
3410, 33eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  <->  C  =  D ) )
3525biimpd 207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  ->  x  =  y ) )
3634, 35sylbid 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
3736ralrimivva 2875 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
38 nfmpt1 4528 . . 3  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
39 nfcv 2616 . . 3  |-  F/_ y
( x  e.  A  |->  C )
4038, 39dff13f 6142 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B  <->  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
415, 37, 40sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fv 5578
This theorem is referenced by:  dom2d  7549  dom3d  7550  ixpfi2  7810  infxpenc2lem1  8387  dfac12lem2  8515  4sqlem11  14560  odf1o1  16794  odf1o2  16795  dis2ndc  20130  hauspwpwf1  20657  itg1addlem4  22275  basellem3  23557  fsumvma  23689  dchrisum0fno1  23897
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