Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr3 Structured version   Unicode version

Theorem dochvalr3 34848
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochvalr3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochvalr3.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochvalr3.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochvalr3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochvalr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dochvalr3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )

Proof of Theorem dochvalr3
StepHypRef Expression
1 dochvalr3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dochvalr3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
3 dochvalr3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
5 dochvalr3.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
73, 4, 5, 6dihrnss 34763 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
81, 2, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
9 dochvalr3.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
103, 5, 4, 6, 9dochcl 34838 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( N `  X
)  e.  ran  I
)
111, 8, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  ran  I
)
123, 5dihcnvid2 34758 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
131, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  =  ( N `
 X ) )
14 dochvalr3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1514, 3, 5, 9dochvalr 34842 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )
161, 2, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( I `
 (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) ) )
1713, 16eqtr2d 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
181simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
19 hlop 32847 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  OP )
21 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2221, 3, 5dihcnvcl 34756 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
231, 2, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 14opoccl 32679 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
2520, 23, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K ) )
2621, 3, 5dihcnvcl 34756 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  X )  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  ( N `
 X ) )  e.  ( Base `  K
) )
271, 11, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( N `  X ) )  e.  ( Base `  K ) )
2821, 3, 5dih11 34750 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( `' I `  ( N `
 X ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  <->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
291, 25, 27, 28syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  <->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
3017, 29mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   `'ccnv 4834   ran crn 4836   ` cfv 5413   Basecbs 14166   occoc 14238   OPcops 32657   HLchlt 32835   LHypclh 33468   DVecHcdvh 34563   DIsoHcdih 34713   ocHcoch 34832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-riotaBAD 32444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-undef 6784  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-cntz 15826  df-lsm 16126  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-drng 16812  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-lvec 17161  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-covers 32751  df-ats 32752  df-atl 32783  df-cvlat 32807  df-hlat 32836  df-llines 32982  df-lplanes 32983  df-lvols 32984  df-lines 32985  df-psubsp 32987  df-pmap 32988  df-padd 33280  df-lhyp 33472  df-laut 33473  df-ldil 33588  df-ltrn 33589  df-trl 33643  df-tendo 34239  df-edring 34241  df-disoa 34514  df-dvech 34564  df-dib 34624  df-dic 34658  df-dih 34714  df-doch 34833
This theorem is referenced by:  dihoml4c  34861
  Copyright terms: Public domain W3C validator