Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr3 Structured version   Unicode version

Theorem dochvalr3 34396
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochvalr3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochvalr3.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochvalr3.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochvalr3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochvalr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dochvalr3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )

Proof of Theorem dochvalr3
StepHypRef Expression
1 dochvalr3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dochvalr3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
3 dochvalr3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
5 dochvalr3.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
73, 4, 5, 6dihrnss 34311 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
81, 2, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
9 dochvalr3.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
103, 5, 4, 6, 9dochcl 34386 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( N `  X
)  e.  ran  I
)
111, 8, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  ran  I
)
123, 5dihcnvid2 34306 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
131, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  =  ( N `
 X ) )
14 dochvalr3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1514, 3, 5, 9dochvalr 34390 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )
161, 2, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( I `
 (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) ) )
1713, 16eqtr2d 2446 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
181simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
19 hlop 32393 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2018, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  OP )
21 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2221, 3, 5dihcnvcl 34304 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
231, 2, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 14opoccl 32225 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
2520, 23, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K ) )
2621, 3, 5dihcnvcl 34304 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  X )  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  ( N `
 X ) )  e.  ( Base `  K
) )
271, 11, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( N `  X ) )  e.  ( Base `  K ) )
2821, 3, 5dih11 34298 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( `' I `  ( N `
 X ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  <->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
291, 25, 27, 28syl3anc 1232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  <->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
3017, 29mpbid 212 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   `'ccnv 4824   ran crn 4826   ` cfv 5571   Basecbs 14843   occoc 14919   OPcops 32203   HLchlt 32381   LHypclh 33014   DVecHcdvh 34111   DIsoHcdih 34261   ocHcoch 34380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-riotaBAD 31990
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-undef 7007  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-0g 15058  df-preset 15883  df-poset 15901  df-plt 15914  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-p0 15995  df-p1 15996  df-lat 16002  df-clat 16064  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-lsm 16982  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-drng 17720  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lvec 18071  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382  df-llines 32528  df-lplanes 32529  df-lvols 32530  df-lines 32531  df-psubsp 32533  df-pmap 32534  df-padd 32826  df-lhyp 33018  df-laut 33019  df-ldil 33134  df-ltrn 33135  df-trl 33190  df-tendo 33787  df-edring 33789  df-disoa 34062  df-dvech 34112  df-dib 34172  df-dic 34206  df-dih 34262  df-doch 34381
This theorem is referenced by:  dihoml4c  34409
  Copyright terms: Public domain W3C validator