Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr Structured version   Unicode version

Theorem dochvalr 34377
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochvalr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochvalr.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochvalr.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochvalr  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )

Proof of Theorem dochvalr
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochvalr.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
3 dochvalr.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
51, 2, 3, 4dihrnss 34298 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
6 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 eqid 2402 . . . 4  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
8 dochvalr.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
9 dochvalr.n . . . 4  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
106, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9dochval 34371 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( N `  X
)  =  ( I `
 (  ._|_  `  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) ) )
115, 10syldan 468 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( ( glb `  K ) `  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
12 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 hllat 32381 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1413ad2antrr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  K  e.  Lat )
15 hlclat 32376 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1615ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  K  e.  CLat )
17 ssrab2 3524 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K )
186, 7clatglbcl 16068 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } )  e.  ( Base `  K
) )
1916, 17, 18sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  e.  ( Base `  K
) )
206, 1, 3dihcnvcl 34291 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
2117a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K ) )
22 ssid 3461 . . . . . . . 8  |-  X  C_  X
231, 3dihcnvid2 34293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
2422, 23syl5sseqr 3491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
25 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' I `  X )  ->  (
I `  y )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
2625sseq2d 3470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( `' I `  X )  ->  ( X  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )
2726elrab 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( `' I `  X )  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  <->  ( ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  X  C_  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )
2820, 24, 27sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )
296, 12, 7clatglble 16079 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K )  /\  ( `' I `  X )  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  -> 
( ( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ( le `  K ) ( `' I `  X ) )
3016, 21, 28, 29syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ( le `  K ) ( `' I `  X ) )
31 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
I `  y )  =  ( I `  z ) )
3231sseq2d 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( X  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  z )
) )
3332elrab 3207 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  <->  ( z  e.  ( Base `  K
)  /\  X  C_  (
I `  z )
) )
3423adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( I `  ( `' I `  X ) )  =  X )
3534sseq1d 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  z )  <->  X  C_  (
I `  z )
) )
36 simpll 752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3720adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
38 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
396, 12, 1, 3dihord 34284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( I `
 ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  z
)  <->  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  z )  <->  ( `' I `  X )
( le `  K
) z ) )
4135, 40bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  C_  (
I `  z )  <->  ( `' I `  X ) ( le `  K
) z ) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  C_  (
I `  z )  ->  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4342expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( z  e.  (
Base `  K )  /\  X  C_  ( I `
 z ) )  ->  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4433, 43syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
z  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  ->  ( `' I `  X ) ( le `  K
) z ) )
4544ralrimiv 2816 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  A. z  e.  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) }  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z )
466, 12, 7clatleglb 16080 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( `' I `  X ) ( le `  K
) ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } )  <->  A. z  e.  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) }  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4716, 20, 21, 46syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  X ) ( le
`  K ) ( ( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  <->  A. z  e.  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) }  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4845, 47mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X ) ( le `  K
) ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } ) )
496, 12, 14, 19, 20, 30, 48latasymd 16011 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  =  ( `' I `  X ) )
5049fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } ) )  =  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )
5150fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  (  ._|_  `  ( ( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) )  =  ( I `
 (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) ) )
5211, 51eqtrd 2443 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   ran crn 4824   ` cfv 5569   Basecbs 14841   lecple 14916   occoc 14917   glbcglb 15896   Latclat 15999   CLatccla 16061   HLchlt 32368   LHypclh 33001   DVecHcdvh 34098   DIsoHcdih 34248   ocHcoch 34367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-riotaBAD 31977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-undef 7005  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-0g 15056  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-dvr 17652  df-drng 17718  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lvec 18069  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-tendo 33774  df-edring 33776  df-disoa 34049  df-dvech 34099  df-dib 34159  df-dic 34193  df-dih 34249  df-doch 34368
This theorem is referenced by:  doch0  34378  doch1  34379  dochvalr2  34382  dochvalr3  34383  dochocss  34386  dochoc  34387  dochnoncon  34411
  Copyright terms: Public domain W3C validator