Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr Structured version   Unicode version

Theorem dochvalr 35025
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochvalr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochvalr.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochvalr.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochvalr  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )

Proof of Theorem dochvalr
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochvalr.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
3 dochvalr.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
51, 2, 3, 4dihrnss 34946 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
8 dochvalr.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
9 dochvalr.n . . . 4  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
106, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9dochval 35019 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( N `  X
)  =  ( I `
 (  ._|_  `  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) ) )
115, 10syldan 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( ( glb `  K ) `  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 hllat 33031 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1413ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  K  e.  Lat )
15 hlclat 33026 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1615ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  K  e.  CLat )
17 ssrab2 3456 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K )
186, 7clatglbcl 15303 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } )  e.  ( Base `  K
) )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  e.  ( Base `  K
) )
206, 1, 3dihcnvcl 34939 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
2117a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K ) )
22 ssid 3394 . . . . . . . 8  |-  X  C_  X
231, 3dihcnvid2 34941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
2422, 23syl5sseqr 3424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
25 fveq2 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' I `  X )  ->  (
I `  y )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
2625sseq2d 3403 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( `' I `  X )  ->  ( X  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )
2726elrab 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( `' I `  X )  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  <->  ( ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  X  C_  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )
2820, 24, 27sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )
296, 12, 7clatglble 15314 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K )  /\  ( `' I `  X )  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  -> 
( ( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ( le `  K ) ( `' I `  X ) )
3016, 21, 28, 29syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ( le `  K ) ( `' I `  X ) )
31 fveq2 5710 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
I `  y )  =  ( I `  z ) )
3231sseq2d 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( X  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  z )
) )
3332elrab 3136 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  <->  ( z  e.  ( Base `  K
)  /\  X  C_  (
I `  z )
) )
3423adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( I `  ( `' I `  X ) )  =  X )
3534sseq1d 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  z )  <->  X  C_  (
I `  z )
) )
36 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3720adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
396, 12, 1, 3dihord 34932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( I `
 ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  z
)  <->  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  z )  <->  ( `' I `  X )
( le `  K
) z ) )
4135, 40bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  C_  (
I `  z )  <->  ( `' I `  X ) ( le `  K
) z ) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  C_  (
I `  z )  ->  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4342expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( z  e.  (
Base `  K )  /\  X  C_  ( I `
 z ) )  ->  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4433, 43syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
z  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  ->  ( `' I `  X ) ( le `  K
) z ) )
4544ralrimiv 2817 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  A. z  e.  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) }  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z )
466, 12, 7clatleglb 15315 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) }  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( `' I `  X ) ( le `  K
) ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } )  <->  A. z  e.  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) }  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4716, 20, 21, 46syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( `' I `  X ) ( le
`  K ) ( ( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  <->  A. z  e.  { y  e.  (
Base `  K )  |  X  C_  ( I `
 y ) }  ( `' I `  X ) ( le
`  K ) z ) )
4845, 47mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X ) ( le `  K
) ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } ) )
496, 12, 14, 19, 20, 30, 48latasymd 15246 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } )  =  ( `' I `  X ) )
5049fveq2d 5714 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  ( ( glb `  K ) `  {
y  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  y
) } ) )  =  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )
5150fveq2d 5714 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  (  ._|_  `  ( ( glb `  K
) `  { y  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) )  =  ( I `
 (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) ) )
5211, 51eqtrd 2475 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   {crab 2738    C_ wss 3347   class class class wbr 4311   `'ccnv 4858   ran crn 4860   ` cfv 5437   Basecbs 14193   lecple 14264   occoc 14265   glbcglb 15132   Latclat 15234   CLatccla 15296   HLchlt 33018   LHypclh 33651   DVecHcdvh 34746   DIsoHcdih 34896   ocHcoch 35015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-riotaBAD 32627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-tpos 6764  df-undef 6811  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-0g 14399  df-poset 15135  df-plt 15147  df-lub 15163  df-glb 15164  df-join 15165  df-meet 15166  df-p0 15228  df-p1 15229  df-lat 15235  df-clat 15297  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-subg 15697  df-cntz 15854  df-lsm 16154  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-oppr 16734  df-dvdsr 16752  df-unit 16753  df-invr 16783  df-dvr 16794  df-drng 16853  df-lmod 16969  df-lss 17033  df-lsp 17072  df-lvec 17203  df-oposet 32844  df-ol 32846  df-oml 32847  df-covers 32934  df-ats 32935  df-atl 32966  df-cvlat 32990  df-hlat 33019  df-llines 33165  df-lplanes 33166  df-lvols 33167  df-lines 33168  df-psubsp 33170  df-pmap 33171  df-padd 33463  df-lhyp 33655  df-laut 33656  df-ldil 33771  df-ltrn 33772  df-trl 33826  df-tendo 34422  df-edring 34424  df-disoa 34697  df-dvech 34747  df-dib 34807  df-dic 34841  df-dih 34897  df-doch 35016
This theorem is referenced by:  doch0  35026  doch1  35027  dochvalr2  35030  dochvalr3  35031  dochocss  35034  dochoc  35035  dochnoncon  35059
  Copyright terms: Public domain W3C validator