Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochval2 Structured version   Unicode version

Theorem dochval2 36149
Description: Subspace orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochval2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochval2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochval2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochval2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochval2.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochval2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, H    z, I    z, K    z, V    z, W    z, X
Allowed substitution hints:    U( z)    N( z)   
._|_ ( z)

Proof of Theorem dochval2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 dochval2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 dochval2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochval2.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dochval2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochval2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochval2.n . . 3  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dochval 36148 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( ( glb `  K
) `  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) ) ) )
10 hlclat 34155 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  K  e.  CLat )
12 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) }  C_  ( Base `  K )
131, 2clatglbcl 15594 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
x  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  x
) }  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( glb `  K ) `  {
x  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  x
) } )  e.  ( Base `  K
) )
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( ( glb `  K ) `  { x  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  x ) } )  e.  ( Base `  K
) )
151, 4, 5dihcnvid1 36069 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( glb `  K ) `  {
x  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  x
) } )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( `' I `  ( I `
 ( ( glb `  K ) `  {
x  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  x
) } ) ) )  =  ( ( glb `  K ) `
 { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) )
1614, 15syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( `' I `  ( I `  ( ( glb `  K
) `  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) ) )  =  ( ( glb `  K ) `
 { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) )
171, 2, 4, 5, 6, 7dihglb2 36139 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( I `  ( ( glb `  K
) `  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)
1817fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( `' I `  ( I `  ( ( glb `  K
) `  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) ) )  =  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )
1916, 18eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( ( glb `  K ) `  { x  e.  ( Base `  K )  |  X  C_  ( I `  x ) } )  =  ( `' I `  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z } ) )
2019fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( ( glb `  K
) `  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) )  =  (  ._|_  `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )
2120fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( I `  (  ._|_  `  (
( glb `  K
) `  { x  e.  ( Base `  K
)  |  X  C_  ( I `  x
) } ) ) )  =  ( I `
 (  ._|_  `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )
229, 21eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818    C_ wss 3476   |^|cint 4282   `'ccnv 4998   ran crn 5000   ` cfv 5586   Basecbs 14483   occoc 14556   glbcglb 15423   CLatccla 15587   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875   DIsoHcdih 36025   ocHcoch 36144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529  df-lsatoms 33773  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145
This theorem is referenced by:  doch2val2  36161  dochocss  36163
  Copyright terms: Public domain W3C validator