Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochval Structured version   Unicode version

Theorem dochval 36549
Description: Subspace orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dochval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dochval.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochval.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochval.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochval  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, K    y, W    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    G( y)    H( y)    I( y)    N( y)    ._|_ ( y)    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem dochval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dochval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 dochval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 dochval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochval.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dochval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochval.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dochfval 36548 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H )  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) )
1110fveq1d 5874 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X ) )
12 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
137, 12eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1413elpw2 4617 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1514biimpri 206 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1615adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  X  e.  ~P V )
17 fvex 5882 . . 3  |-  ( I `
 (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) )  e.  _V
18 sseq1 3530 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  y )
) )
1918rabbidv 3110 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  B  |  x 
C_  ( I `  y ) }  =  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } )
2019fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y
) } )  =  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) )
2120fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) )  =  ( 
._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )
2221fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
23 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2422, 23fvmptg 5955 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2516, 17, 24sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( (
x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2611, 25eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594   Basecbs 14507   occoc 14580   glbcglb 15447   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276   DIsoHcdih 36426   ocHcoch 36545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-doch 36546
This theorem is referenced by:  dochval2  36550  dochcl  36551  dochvalr  36555  dochss  36563
  Copyright terms: Public domain W3C validator