Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochval Structured version   Unicode version

Theorem dochval 35092
Description: Subspace orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dochval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dochval.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochval.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochval.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochval  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, K    y, W    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    G( y)    H( y)    I( y)    N( y)    ._|_ ( y)    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem dochval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dochval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 dochval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 dochval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochval.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dochval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochval.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dochfval 35091 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H )  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) )
1110fveq1d 5714 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X ) )
12 fvex 5722 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
137, 12eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1413elpw2 4477 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1514biimpri 206 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1615adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  X  e.  ~P V )
17 fvex 5722 . . 3  |-  ( I `
 (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) )  e.  _V
18 sseq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  y )
) )
1918rabbidv 2985 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  B  |  x 
C_  ( I `  y ) }  =  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } )
2019fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y
) } )  =  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) )
2120fveq2d 5716 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) )  =  ( 
._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )
2221fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2422, 23fvmptg 5793 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2516, 17, 24sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( (
x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2611, 25eqtrd 2475 1  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881    e. cmpt 4371   ` cfv 5439   Basecbs 14195   occoc 14267   glbcglb 15134   LHypclh 33724   DVecHcdvh 34819   DIsoHcdih 34969   ocHcoch 35088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-doch 35089
This theorem is referenced by:  dochval2  35093  dochcl  35094  dochvalr  35098  dochss  35106
  Copyright terms: Public domain W3C validator