Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsscl Structured version   Unicode version

Theorem dochsscl 35010
Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsscl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsscl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsscl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsscl.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochsscl.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsscl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsscl.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
dochsscl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dochsscl  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  C_  Y
) )

Proof of Theorem dochsscl
StepHypRef Expression
1 dochsscl.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 dochsscl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  X  C_  V
)
5 dochsscl.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochsscl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochsscl.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochsscl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8dochssv 34997 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
102, 4, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
11 dochsscl.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
12 dochsscl.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
135, 6, 12, 7dihrnss 34920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  Y  C_  V )
141, 11, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  Y  C_  V
)
16 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  X  C_  Y
)
175, 6, 7, 8dochss 35007 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
182, 15, 16, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
195, 6, 7, 8dochss 35007 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
202, 10, 18, 19syl3anc 1218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2111adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  Y  e.  ran  I )
225, 12, 8dochoc 35009 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y )
232, 21, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
2420, 23sseqtrd 3390 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )
255, 6, 7, 8dochocss 35008 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
261, 3, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
27 sstr 3362 . . 3  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )  ->  X  C_  Y )
2826, 27sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )  ->  X  C_  Y )
2924, 28impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  C_  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3326   ran crn 4839   ` cfv 5416   Basecbs 14172   HLchlt 32992   LHypclh 33625   DVecHcdvh 34720   DIsoHcdih 34870   ocHcoch 34989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-undef 6790  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-0g 14378  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-lsatoms 32618  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800  df-tendo 34396  df-edring 34398  df-disoa 34671  df-dvech 34721  df-dib 34781  df-dic 34815  df-dih 34871  df-doch 34990
This theorem is referenced by:  hdmapoc  35576
  Copyright terms: Public domain W3C validator