Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsscl Structured version   Unicode version

Theorem dochsscl 34854
Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsscl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsscl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsscl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsscl.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochsscl.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsscl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsscl.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
dochsscl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dochsscl  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  C_  Y
) )

Proof of Theorem dochsscl
StepHypRef Expression
1 dochsscl.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 dochsscl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
43adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  X  C_  V
)
5 dochsscl.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochsscl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochsscl.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochsscl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8dochssv 34841 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
102, 4, 9syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
11 dochsscl.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
12 dochsscl.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
135, 6, 12, 7dihrnss 34764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  Y  C_  V )
141, 11, 13syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
1514adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  Y  C_  V
)
16 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  X  C_  Y
)
175, 6, 7, 8dochss 34851 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
182, 15, 16, 17syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
195, 6, 7, 8dochss 34851 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
202, 10, 18, 19syl3anc 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2111adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  Y  e.  ran  I )
225, 12, 8dochoc 34853 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y )
232, 21, 22syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
2420, 23sseqtrd 3500 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )
255, 6, 7, 8dochocss 34852 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
261, 3, 25syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
27 sstr 3472 . . 3  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )  ->  X  C_  Y )
2826, 27sylan 473 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )  ->  X  C_  Y )
2924, 28impbida 840 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  C_  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    C_ wss 3436   ran crn 4850   ` cfv 5597   Basecbs 15108   HLchlt 32834   LHypclh 33467   DVecHcdvh 34564   DIsoHcdih 34714   ocHcoch 34833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32443
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-undef 7024  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-0g 15327  df-preset 16160  df-poset 16178  df-plt 16191  df-lub 16207  df-glb 16208  df-join 16209  df-meet 16210  df-p0 16272  df-p1 16273  df-lat 16279  df-clat 16341  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-subg 16801  df-cntz 16958  df-lsm 17275  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-oppr 17838  df-dvdsr 17856  df-unit 17857  df-invr 17887  df-dvr 17898  df-drng 17964  df-lmod 18080  df-lss 18143  df-lsp 18182  df-lvec 18313  df-lsatoms 32460  df-oposet 32660  df-ol 32662  df-oml 32663  df-covers 32750  df-ats 32751  df-atl 32782  df-cvlat 32806  df-hlat 32835  df-llines 32981  df-lplanes 32982  df-lvols 32983  df-lines 32984  df-psubsp 32986  df-pmap 32987  df-padd 33279  df-lhyp 33471  df-laut 33472  df-ldil 33587  df-ltrn 33588  df-trl 33643  df-tendo 34240  df-edring 34242  df-disoa 34515  df-dvech 34565  df-dib 34625  df-dic 34659  df-dih 34715  df-doch 34834
This theorem is referenced by:  hdmapoc  35420
  Copyright terms: Public domain W3C validator