Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem dochsnkrlem3 36938
Description: Lemma for dochsnkr 36939. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsnkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsnkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsnkr.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsnkr.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochsnkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochsnkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochsnkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsnkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
dochsnkr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
dochsnkrlem3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem dochsnkrlem3
StepHypRef Expression
1 dochsnkr.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dochsnkr.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 dochsnkr.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dochsnkr.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 dochsnkr.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 dochsnkr.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 dochsnkr.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
8 dochsnkr.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 dochsnkr.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 dochsnkr.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dochsnkrlem1 36936 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V )
1211orcd 392 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  \/  ( L `  G )  =  V ) )
131, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9dochkrshp4 36856 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G )  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V  \/  ( L `  G
)  =  V ) ) )
1412, 13mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458   {csn 4014   ` cfv 5578   Basecbs 14613   0gc0g 14818  LFnlclfn 34522  LKerclk 34550   HLchlt 34815   LHypclh 35448   DVecHcdvh 36545   ocHcoch 36814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34424
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-0g 14820  df-preset 15535  df-poset 15553  df-plt 15566  df-lub 15582  df-glb 15583  df-join 15584  df-meet 15585  df-p0 15647  df-p1 15648  df-lat 15654  df-clat 15716  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-subg 16176  df-cntz 16333  df-lsm 16634  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-oppr 17250  df-dvdsr 17268  df-unit 17269  df-invr 17299  df-dvr 17310  df-drng 17376  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-lsp 17596  df-lvec 17727  df-lsatoms 34441  df-lshyp 34442  df-lfl 34523  df-lkr 34551  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-lplanes 34963  df-lvols 34964  df-lines 34965  df-psubsp 34967  df-pmap 34968  df-padd 35260  df-lhyp 35452  df-laut 35453  df-ldil 35568  df-ltrn 35569  df-trl 35624  df-tendo 36221  df-edring 36223  df-disoa 36496  df-dvech 36546  df-dib 36606  df-dic 36640  df-dih 36696  df-doch 36815
This theorem is referenced by:  dochsnkr  36939  lcfrlem9  37017
  Copyright terms: Public domain W3C validator