Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkr2 Structured version   Unicode version

Theorem dochsnkr2 36145
Description: Kernel of the explicit functional  G determined by a nonzero vector  X. Compare the more general lshpkr 33789. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsnkr2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsnkr2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsnkr2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsnkr2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochsnkr2.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dochsnkr2.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dochsnkr2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochsnkr2.d  |-  D  =  (Scalar `  U )
dochsnkr2.r  |-  R  =  ( Base `  D
)
dochsnkr2.g  |-  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
dochsnkr2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsnkr2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
dochsnkr2  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    D, k    ._|_ , k, v, w    R, k, v    .x. , k,
v, w    v, V    k, X, v, w
Allowed substitution hints:    ph( w, v, k)    D( w, v)    R( w)    U( w, v, k)    G( w, v, k)    H( w, v, k)    K( w, v, k)    L( w, v, k)    V( w, k)    W( w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem dochsnkr2
StepHypRef Expression
1 dochsnkr2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 dochsnkr2.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
3 eqid 2460 . 2  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
4 eqid 2460 . 2  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5 eqid 2460 . 2  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
6 dochsnkr2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 dochsnkr2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 dochsnkr2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
96, 7, 8dvhlvec 35781 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
10 dochsnkr2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
11 dochsnkr2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
12 dochsnkr2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
136, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12dochsnshp 36125 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  (LSHyp `  U ) )
1412eldifad 3481 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
156, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12dochexmidat 36131 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  V )
16 dochsnkr2.d . 2  |-  D  =  (Scalar `  U )
17 dochsnkr2.r . 2  |-  R  =  ( Base `  D
)
18 dochsnkr2.t . 2  |-  .x.  =  ( .s `  U )
19 dochsnkr2.g . 2  |-  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
20 dochsnkr2.l . 2  |-  L  =  (LKer `  U )
211, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lshpkr 33789 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808    \ cdif 3466   {csn 4020    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   0gc0g 14684   LSSumclsm 16443   LSpanclspn 17393  LSHypclsh 33647  LKerclk 33757   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750   ocHcoch 36019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067
This theorem is referenced by:  dochsnkr2cl  36146  lcfl6lem  36170  lcfl7lem  36171  lcfl6  36172  lcfrlem11  36225
  Copyright terms: Public domain W3C validator