Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkr2 Structured version   Unicode version

Theorem dochsnkr2 34506
Description: Kernel of the explicit functional  G determined by a nonzero vector  X. Compare the more general lshpkr 32148. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsnkr2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsnkr2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsnkr2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsnkr2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochsnkr2.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dochsnkr2.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dochsnkr2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochsnkr2.d  |-  D  =  (Scalar `  U )
dochsnkr2.r  |-  R  =  ( Base `  D
)
dochsnkr2.g  |-  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
dochsnkr2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsnkr2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
dochsnkr2  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    D, k    ._|_ , k, v, w    R, k, v    .x. , k,
v, w    v, V    k, X, v, w
Allowed substitution hints:    ph( w, v, k)    D( w, v)    R( w)    U( w, v, k)    G( w, v, k)    H( w, v, k)    K( w, v, k)    L( w, v, k)    V( w, k)    W( w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem dochsnkr2
StepHypRef Expression
1 dochsnkr2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 dochsnkr2.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
3 eqid 2404 . 2  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
4 eqid 2404 . 2  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5 eqid 2404 . 2  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
6 dochsnkr2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 dochsnkr2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 dochsnkr2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
96, 7, 8dvhlvec 34142 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
10 dochsnkr2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
11 dochsnkr2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
12 dochsnkr2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
136, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12dochsnshp 34486 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  (LSHyp `  U ) )
1412eldifad 3428 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
156, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12dochexmidat 34492 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  V )
16 dochsnkr2.d . 2  |-  D  =  (Scalar `  U )
17 dochsnkr2.r . 2  |-  R  =  ( Base `  D
)
18 dochsnkr2.t . 2  |-  .x.  =  ( .s `  U )
19 dochsnkr2.g . 2  |-  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
20 dochsnkr2.l . 2  |-  L  =  (LKer `  U )
211, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lshpkr 32148 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   E.wrex 2757    \ cdif 3413   {csn 3974    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571   iota_crio 6241  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   +g cplusg 14911  Scalarcsca 14914   .scvsca 14915   0gc0g 15056   LSSumclsm 16980   LSpanclspn 17939  LSHypclsh 32006  LKerclk 32116   HLchlt 32381   LHypclh 33014   DVecHcdvh 34111   ocHcoch 34380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-riotaBAD 31990
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-undef 7007  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-0g 15058  df-preset 15883  df-poset 15901  df-plt 15914  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-p0 15995  df-p1 15996  df-lat 16002  df-clat 16064  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-lsm 16982  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-drng 17720  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lvec 18071  df-lsatoms 32007  df-lshyp 32008  df-lfl 32089  df-lkr 32117  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382  df-llines 32528  df-lplanes 32529  df-lvols 32530  df-lines 32531  df-psubsp 32533  df-pmap 32534  df-padd 32826  df-lhyp 33018  df-laut 33019  df-ldil 33134  df-ltrn 33135  df-trl 33190  df-tgrp 33775  df-tendo 33787  df-edring 33789  df-dveca 34035  df-disoa 34062  df-dvech 34112  df-dib 34172  df-dic 34206  df-dih 34262  df-doch 34381  df-djh 34428
This theorem is referenced by:  dochsnkr2cl  34507  lcfl6lem  34531  lcfl7lem  34532  lcfl6  34533  lcfrlem11  34586
  Copyright terms: Public domain W3C validator