Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkr Structured version   Unicode version

Theorem dochsnkr 34472
Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems) (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsnkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsnkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsnkr.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsnkr.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochsnkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochsnkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochsnkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsnkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
dochsnkr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
dochsnkr  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )

Proof of Theorem dochsnkr
StepHypRef Expression
1 dochsnkr.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
4 dochsnkr.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochsnkr.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dochsnkr.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlvec 34109 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 dochsnkr.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
9 dochsnkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochsnkr.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 dochsnkr.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
12 dochsnkr.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
13 dochsnkr.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
144, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3dochsnkrlem2 34470 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  e.  (LSAtoms `  U
) )
1513eldifad 3425 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )
16 eldifsni 4097 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G
) )  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
1713, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
181, 2, 3, 7, 14, 15, 17lsatel 32003 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { X } ) )
1918fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) ) )
204, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13dochsnkrlem3 34471 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
214, 5, 6dvhlmod 34110 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
229, 10, 11, 21, 12lkrssv 32094 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
234, 5, 9, 8dochssv 34355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
246, 22, 23syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
2524ssdifssd 3580 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  V )
2625, 13sseldd 3442 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2726snssd 4116 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
284, 5, 8, 9, 2, 6, 27dochocsp 34379 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2919, 20, 283eqtr3d 2451 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410    C_ wss 3413   {csn 3971   ` cfv 5568   Basecbs 14839   0gc0g 15052   LSpanclspn 17935  LSAtomsclsa 31972  LFnlclfn 32055  LKerclk 32083   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078   ocHcoch 34347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395
This theorem is referenced by:  dochfln0  34477  lcfl6lem  34498
  Copyright terms: Public domain W3C validator