Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsncom Structured version   Unicode version

Theorem dochsncom 34659
Description: Swap vectors in an orthocomplement of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsncom.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsncom.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsncom.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsncom.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsncom.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsncom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dochsncom.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dochsncom  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { Y }
)  <->  Y  e.  (  ._|_  `  { X }
) ) )

Proof of Theorem dochsncom
StepHypRef Expression
1 dochsncom.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2429 . . . 4  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
3 dochsncom.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 dochsncom.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 dochsncom.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 dochsncom.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochsncom.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
91, 6, 7, 8, 2dihlsprn 34608 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
104, 5, 9syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
11 dochsncom.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
121, 6, 7, 8, 2dihlsprn 34608 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
134, 11, 12syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
141, 2, 3, 4, 10, 13dochord3 34649 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } ) )  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( ( LSpan `  U ) `  { X } ) ) ) )
1511snssd 4148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
161, 6, 3, 7, 8, 4, 15dochocsp 34656 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { Y } ) )  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
1716sseq2d 3498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } ) )  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { Y } ) ) )
185snssd 4148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
191, 6, 3, 7, 8, 4, 18dochocsp 34656 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2019sseq2d 3498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( ( LSpan `  U ) `  { X } ) )  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  { X } ) ) )
2114, 17, 203bitr3d 286 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { Y }
)  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  { X }
) ) )
22 eqid 2429 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 6, 4dvhlmod 34387 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
241, 6, 7, 22, 3dochlss 34631 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { Y }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
254, 15, 24syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
267, 22, 8, 23, 25, 5lspsnel5 18153 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { Y }
)  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { Y }
) ) )
271, 6, 7, 22, 3dochlss 34631 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
284, 18, 27syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
297, 22, 8, 23, 28, 11lspsnel5 18153 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { X }
)  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  { X }
) ) )
3021, 26, 293bitr4d 288 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { Y }
)  <->  Y  e.  (  ._|_  `  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   {csn 4002   ran crn 4855   ` cfv 5601   Basecbs 15084   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129   HLchlt 32625   LHypclh 33258   DVecHcdvh 34355   DIsoHcdih 34505   ocHcoch 34624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32251  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434  df-tendo 34031  df-edring 34033  df-disoa 34306  df-dvech 34356  df-dib 34416  df-dic 34450  df-dih 34506  df-doch 34625
This theorem is referenced by:  hdmapip0com  35197  hdmapoc  35211
  Copyright terms: Public domain W3C validator