Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpsat Structured version   Unicode version

Theorem dochshpsat 35096
Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpsat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochshpsat.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochshpsat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochshpsat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochshpsat.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochshpsat.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochshpsat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
dochshpsat  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  e.  A
) )

Proof of Theorem dochshpsat
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
2 dochshpsat.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  X  e.  Y
)
41, 3eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  Y )
5 dochshpsat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochshpsat.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 dochshpsat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 dochshpsat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 dochshpsat.y . . . . 5  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
11 dochshpsat.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
125, 7, 11dvhlmod 34752 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
138, 10, 12, 2lshplss 32623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( LSubSp `  U ) )
14 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
1514, 8lssss 17016 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
1613, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
175, 7, 14, 8, 6dochlss 34996 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1811, 16, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ( LSubSp `  U
) )
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18dochsatshpb 35094 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  A  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  Y ) )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  ( (  ._|_  `  X )  e.  A  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  Y
) )
214, 20mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  A )
22 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
2312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  U  e.  LMod )
24 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  A
)
2522, 9, 23, 24lsatn0 32641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  X )  =/=  {
( 0g `  U
) } )
2625neneqd 2622 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  -.  (  ._|_  `  X )  =  { ( 0g `  U ) } )
2711adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
285, 7, 6, 14, 22doch0 35000 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  ( Base `  U
) )
3029eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U
) ) )
31 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
325, 31, 7, 14, 6dochcl 34995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
3311, 16, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
345, 31, 7, 22dih0rn 34926 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
3511, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
365, 31, 6, 11, 33, 35doch11 35015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } )  <->  (  ._|_  `  X )  =  {
( 0g `  U
) } ) )
3736adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  <->  (  ._|_  `  X
)  =  { ( 0g `  U ) } ) )
3830, 37bitr3d 255 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  (
Base `  U )  <->  ( 
._|_  `  X )  =  { ( 0g `  U ) } ) )
3926, 38mtbird 301 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  (
Base `  U )
)
405, 6, 7, 14, 10, 11, 2dochshpncl 35026 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U ) ) )
4140necon1bbid 2663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
4241adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U
)  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
4339, 42mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
4421, 43impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3326   {csn 3875   ran crn 4839   ` cfv 5416   Basecbs 14172   0gc0g 14376   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011  LSAtomsclsa 32616  LSHypclsh 32617   HLchlt 32992   LHypclh 33625   DVecHcdvh 34720   DIsoHcdih 34870   ocHcoch 34989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-undef 6790  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-0g 14378  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-lsatoms 32618  df-lshyp 32619  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800  df-tgrp 34384  df-tendo 34396  df-edring 34398  df-dveca 34644  df-disoa 34671  df-dvech 34721  df-dib 34781  df-dic 34815  df-dih 34871  df-doch 34990  df-djh 35037
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  35279
  Copyright terms: Public domain W3C validator