Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpncl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dochshpncl 34952
Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpncl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochshpncl.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochshpncl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochshpncl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochshpncl.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochshpncl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochshpncl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
dochshpncl  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )

Proof of Theorem dochshpncl
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochshpncl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
2 dochshpncl.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
3 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
4 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
5 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
6 dochshpncl.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochshpncl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochshpncl.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochshpncl.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
107, 8, 9dvhlmod 34678 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
112, 3, 4, 5, 6, 10islshpsm 32546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  ( LSubSp `  U )  /\  X  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( X
( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  =  V ) ) )
121, 11mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (
LSubSp `  U )  /\  X  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V ) )
1312simp3d 1022 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V )
1413adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V )
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V
) )
1615adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V
) )
17163adant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V )
)
184, 6, 10, 1lshplss 32547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( LSubSp `  U ) )
192, 4lssss 18160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  X  C_  V
)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
21 dochshpncl.o . . . . . . . . . . 11  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
227, 8, 2, 21dochocss 34934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
239, 20, 22syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
2423adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
25243ad2ant1 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
26 simp1r 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )
2726necomd 2679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
28 df-pss 3420 . . . . . . 7  |-  ( X 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  <-> 
( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  /\  X  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
2925, 27, 28sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
307, 8, 2, 21dochssv 34923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
319, 20, 30syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  V )
327, 8, 2, 21dochssv 34923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  V )
339, 31, 32syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  V )
3433adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  V )
35343ad2ant1 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  V )
36 simp3 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )
3735, 36sseqtr4d 3469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
389adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
397, 8, 38dvhlvec 34677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  LVec )
4018adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  X  e.  ( LSubSp `  U )
)
417, 8, 2, 4, 21dochlss 34922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
429, 31, 41syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
4342adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  (
LSubSp `  U ) )
44 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
452, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44lsmcv 18364 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  V )  /\  X  C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( X ( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )
4617, 29, 37, 45syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
4746, 36eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
4847rexlimdv3a 2881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  ( E. v  e.  V  ( X
( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
4914, 48mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
50 simpr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
512, 6, 10, 1lshpne 32548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  V )
5251adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  X  =/=  V
)
5352necomd 2679 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  V  =/=  X
)
5450, 53eqnetrd 2691 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )
5549, 54impbida 843 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    C_ wss 3404    C. wpss 3405   {csn 3968   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   LSSumclsm 17286   LSubSpclss 18155   LSpanclspn 18194  LSHypclsh 32541   HLchlt 32916   LHypclh 33549   DVecHcdvh 34646   ocHcoch 34915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lshyp 32543  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797  df-doch 34916
This theorem is referenced by:  dochkrshp  34954  dochshpsat  35022
  Copyright terms: Public domain W3C validator