Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpncl Structured version   Unicode version

Theorem dochshpncl 34661
Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpncl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochshpncl.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochshpncl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochshpncl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochshpncl.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochshpncl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochshpncl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
dochshpncl  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )

Proof of Theorem dochshpncl
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochshpncl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
2 dochshpncl.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
3 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
4 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
5 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
6 dochshpncl.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochshpncl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochshpncl.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochshpncl.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
107, 8, 9dvhlmod 34387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
112, 3, 4, 5, 6, 10islshpsm 32255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  ( LSubSp `  U )  /\  X  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( X
( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  =  V ) ) )
121, 11mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (
LSubSp `  U )  /\  X  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V ) )
1312simp3d 1019 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V )
1413adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V )
15 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V
) )
1615adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V
) )
17163adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V )
)
184, 6, 10, 1lshplss 32256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( LSubSp `  U ) )
192, 4lssss 18095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  X  C_  V
)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
21 dochshpncl.o . . . . . . . . . . 11  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
227, 8, 2, 21dochocss 34643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
239, 20, 22syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
2423adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
25243ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
26 simp1r 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )
2726necomd 2702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
28 df-pss 3458 . . . . . . 7  |-  ( X 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  <-> 
( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  /\  X  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
2925, 27, 28sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
307, 8, 2, 21dochssv 34632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
319, 20, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  V )
327, 8, 2, 21dochssv 34632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  V )
339, 31, 32syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  V )
3433adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  V )
35343ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  V )
36 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )
3735, 36sseqtr4d 3507 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
389adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
397, 8, 38dvhlvec 34386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  LVec )
4018adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  X  e.  ( LSubSp `  U )
)
417, 8, 2, 4, 21dochlss 34631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
429, 31, 41syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
4342adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  (
LSubSp `  U ) )
44 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
452, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44lsmcv 18299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  V )  /\  X  C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( X ( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )
4617, 29, 37, 45syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
4746, 36eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
4847rexlimdv3a 2926 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  ( E. v  e.  V  ( X
( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
4914, 48mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
50 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
512, 6, 10, 1lshpne 32257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  V )
5251adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  X  =/=  V
)
5352necomd 2702 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  V  =/=  X
)
5450, 53eqnetrd 2724 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )
5549, 54impbida 840 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783    C_ wss 3442    C. wpss 3443   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   LSSumclsm 17221   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129  LSHypclsh 32250   HLchlt 32625   LHypclh 33258   DVecHcdvh 34355   ocHcoch 34624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32251  df-lshyp 32252  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434  df-tendo 34031  df-edring 34033  df-disoa 34306  df-dvech 34356  df-dib 34416  df-dic 34450  df-dih 34506  df-doch 34625
This theorem is referenced by:  dochkrshp  34663  dochshpsat  34731
  Copyright terms: Public domain W3C validator