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Theorem dochsatshp 35096
Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 27-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsatshp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsatshp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsatshp.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsatshp.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochsatshp.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochsatshp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsatshp.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
dochsatshp  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  Y )

Proof of Theorem dochsatshp
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochsatshp.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 dochsatshp.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
4 dochsatshp.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochsatshp.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
64, 5, 1dvhlmod 34755 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 dochsatshp.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
82, 3, 6, 7lsatssv 32643 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  C_  ( Base `  U ) )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
10 dochsatshp.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
114, 5, 2, 9, 10dochlss 34999 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  Q
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
121, 8, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U
) )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
1413, 3, 6, 7lsatn0 32644 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  { ( 0g `  U ) } )
154, 5, 10, 2, 13doch0 35003 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
161, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
1716eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
(  ._|_  `  Q )  =  ( Base `  U
) ) )
18 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
194, 5, 18, 3dih1dimat 34975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A
)  ->  Q  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
201, 7, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
214, 18, 5, 13dih0rn 34929 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
221, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
234, 18, 10, 1, 20, 22doch11 35018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
Q  =  { ( 0g `  U ) } ) )
2417, 23bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =  ( Base `  U )  <->  Q  =  { ( 0g `  U ) } ) )
2524necon3bid 2643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =/=  ( Base `  U )  <->  Q  =/=  { ( 0g `  U
) } ) )
2614, 25mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  =/=  ( Base `  U
) )
27 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
282, 27, 13, 3islsat 32636 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( Q  e.  A  <->  E. v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
296, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  <->  E. v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( (
LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
307, 29mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )
31 eldifi 3478 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ( ( Base `  U )  \  {
( 0g `  U
) } )  -> 
v  e.  ( Base `  U ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  ->  v  e.  ( Base `  U )
)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  -> 
v  e.  ( Base `  U ) ) )
349, 27lspid 17063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )
)  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q )
)  =  (  ._|_  `  Q ) )
356, 12, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  (  ._|_  `  Q ) )  =  (  ._|_  `  Q ) )
3635uneq1d 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q ) )  u.  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  ( (  ._|_  `  Q )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
3736fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  ( (
( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q
) )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  ( (
LSpan `  U ) `  { v } ) ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
( ( LSpan `  U
) `  (  ._|_  `  Q ) )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) ) )
396adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
402, 9lssss 17018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )  ->  (  ._|_  `  Q ) 
C_  ( Base `  U
) )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q ) 
C_  ( Base `  U
) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  (  ._|_  `  Q
)  C_  ( Base `  U ) )
4331snssd 4018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ( Base `  U )  \  {
( 0g `  U
) } )  ->  { v }  C_  ( Base `  U )
)
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  ->  { v }  C_  ( Base `  U
) )
4544adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  { v } 
C_  ( Base `  U
) )
462, 27lspun 17068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  Q )  C_  ( Base `  U )  /\  { v }  C_  ( Base `  U )
)  ->  ( ( LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  { v } ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (
( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q
) )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) ) )
4739, 42, 45, 46syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( (
LSpan `  U ) `  ( ( ( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q ) )  u.  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) ) ) )
48 uneq2 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } )  -> 
( (  ._|_  `  Q
)  u.  Q )  =  ( (  ._|_  `  Q )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
4948fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  Q ) )  =  ( (
LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  ( (
LSpan `  U ) `  { v } ) ) ) )
5150adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) ) )
5238, 47, 513eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( (
LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  Q ) ) )
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (joinH `  K ) `  W
)  =  ( (joinH `  K ) `  W
)
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
554, 18, 5, 2, 10dochcl 34998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  Q
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
561, 8, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
574, 18, 53, 5, 54, 3, 1, 56, 7dihjat2 35076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
) ( (joinH `  K ) `  W
) Q )  =  ( (  ._|_  `  Q
) ( LSSum `  U
) Q ) )
584, 5, 2, 53, 1, 41, 8djhcom 35050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
) ( (joinH `  K ) `  W
) Q )  =  ( Q ( (joinH `  K ) `  W
) (  ._|_  `  Q
) ) )
599, 3, 6, 7lsatlssel 32642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  U ) )
609, 27, 54lsmsp 17167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )  /\  Q  e.  ( LSubSp `
 U ) )  ->  ( (  ._|_  `  Q ) ( LSSum `  U ) Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  Q ) ) )
616, 12, 59, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
) ( LSSum `  U
) Q )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) ) )
6257, 58, 613eqtr3rd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( Q ( (joinH `  K ) `  W
) (  ._|_  `  Q
) ) )
634, 5, 2, 10, 53djhexmid 35056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( Q ( (joinH `  K ) `  W ) (  ._|_  `  Q ) )  =  ( Base `  U
) )
641, 8, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q ( (joinH `  K ) `  W
) (  ._|_  `  Q
) )  =  (
Base `  U )
)
6562, 64eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( Base `  U
) )
6665adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( Base `  U
) )
6752, 66eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( Base `  U ) )
6867ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) ) )
6933, 68jcad 533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  -> 
( v  e.  (
Base `  U )  /\  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) ) ) )
7069reximdv2 2825 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } )  ->  E. v  e.  (
Base `  U )
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) ) )
7130, 70mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  (
Base `  U )
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) )
724, 5, 1dvhlvec 34754 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
73 dochsatshp.y . . . 4  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
742, 27, 9, 73islshp 32624 . . 3  |-  ( U  e.  LVec  ->  ( ( 
._|_  `  Q )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  (  ._|_  `  Q )  =/=  ( Base `  U
)  /\  E. v  e.  ( Base `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( Base `  U ) ) ) )
7572, 74syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )  /\  (  ._|_  `  Q
)  =/=  ( Base `  U )  /\  E. v  e.  ( Base `  U ) ( (
LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  { v } ) )  =  ( Base `  U
) ) ) )
7612, 26, 71, 75mpbir3and 1171 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   {csn 3877   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   0gc0g 14378   LSSumclsm 16133   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052   LVecclvec 17183  LSAtomsclsa 32619  LSHypclsh 32620   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   DIsoHcdih 34873   ocHcoch 34992  joinHcdjh 35039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-lshyp 32622  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tgrp 34387  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-dveca 34647  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993  df-djh 35040
This theorem is referenced by:  dochsatshpb  35097  dochsnshp  35098  dochpolN  35135  lclkrlem2c  35154  lclkrlem2e  35156  mapdordlem2  35282
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