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Theorem dochsatshp 36654
Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 27-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsatshp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsatshp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsatshp.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsatshp.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochsatshp.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochsatshp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsatshp.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
dochsatshp  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  Y )

Proof of Theorem dochsatshp
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochsatshp.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 dochsatshp.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
4 dochsatshp.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochsatshp.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
64, 5, 1dvhlmod 36313 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 dochsatshp.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
82, 3, 6, 7lsatssv 34201 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  C_  ( Base `  U ) )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
10 dochsatshp.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
114, 5, 2, 9, 10dochlss 36557 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  Q
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
121, 8, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U
) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
1413, 3, 6, 7lsatn0 34202 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  { ( 0g `  U ) } )
154, 5, 10, 2, 13doch0 36561 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
161, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
1716eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
(  ._|_  `  Q )  =  ( Base `  U
) ) )
18 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
194, 5, 18, 3dih1dimat 36533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A
)  ->  Q  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
201, 7, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
214, 18, 5, 13dih0rn 36487 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
221, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
234, 18, 10, 1, 20, 22doch11 36576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
Q  =  { ( 0g `  U ) } ) )
2417, 23bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =  ( Base `  U )  <->  Q  =  { ( 0g `  U ) } ) )
2524necon3bid 2725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  =/=  ( Base `  U )  <->  Q  =/=  { ( 0g `  U
) } ) )
2614, 25mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  =/=  ( Base `  U
) )
27 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
282, 27, 13, 3islsat 34194 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( Q  e.  A  <->  E. v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
296, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  <->  E. v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( (
LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
307, 29mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )
31 eldifi 3631 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ( ( Base `  U )  \  {
( 0g `  U
) } )  -> 
v  e.  ( Base `  U ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  ->  v  e.  ( Base `  U )
)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  -> 
v  e.  ( Base `  U ) ) )
349, 27lspid 17497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )
)  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q )
)  =  (  ._|_  `  Q ) )
356, 12, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  (  ._|_  `  Q ) )  =  (  ._|_  `  Q ) )
3635uneq1d 3662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q ) )  u.  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  ( (  ._|_  `  Q )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
3736fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  ( (
( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q
) )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  ( (
LSpan `  U ) `  { v } ) ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
( ( LSpan `  U
) `  (  ._|_  `  Q ) )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) ) )
396adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
402, 9lssss 17452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )  ->  (  ._|_  `  Q ) 
C_  ( Base `  U
) )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q ) 
C_  ( Base `  U
) )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  (  ._|_  `  Q
)  C_  ( Base `  U ) )
4331snssd 4178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ( Base `  U )  \  {
( 0g `  U
) } )  ->  { v }  C_  ( Base `  U )
)
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  ->  { v }  C_  ( Base `  U
) )
4544adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  { v } 
C_  ( Base `  U
) )
462, 27lspun 17502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  Q )  C_  ( Base `  U )  /\  { v }  C_  ( Base `  U )
)  ->  ( ( LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  { v } ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (
( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q
) )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) ) )
4739, 42, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( (
LSpan `  U ) `  ( ( ( LSpan `  U ) `  (  ._|_  `  Q ) )  u.  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) ) ) )
48 uneq2 3657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } )  -> 
( (  ._|_  `  Q
)  u.  Q )  =  ( (  ._|_  `  Q )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
4948fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  {
v } )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  Q ) )  =  ( (
LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  ( (
LSpan `  U ) `  { v } ) ) ) )
5150adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) ) )
5238, 47, 513eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( (
LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  Q ) ) )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (joinH `  K ) `  W
)  =  ( (joinH `  K ) `  W
)
54 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
554, 18, 5, 2, 10dochcl 36556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  Q
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
561, 8, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
574, 18, 53, 5, 54, 3, 1, 56, 7dihjat2 36634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
) ( (joinH `  K ) `  W
) Q )  =  ( (  ._|_  `  Q
) ( LSSum `  U
) Q ) )
584, 5, 2, 53, 1, 41, 8djhcom 36608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
) ( (joinH `  K ) `  W
) Q )  =  ( Q ( (joinH `  K ) `  W
) (  ._|_  `  Q
) ) )
599, 3, 6, 7lsatlssel 34200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  U ) )
609, 27, 54lsmsp 17601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )  /\  Q  e.  ( LSubSp `
 U ) )  ->  ( (  ._|_  `  Q ) ( LSSum `  U ) Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  Q ) ) )
616, 12, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
) ( LSSum `  U
) Q )  =  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) ) )
6257, 58, 613eqtr3rd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( Q ( (joinH `  K ) `  W
) (  ._|_  `  Q
) ) )
634, 5, 2, 10, 53djhexmid 36614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( Q ( (joinH `  K ) `  W ) (  ._|_  `  Q ) )  =  ( Base `  U
) )
641, 8, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q ( (joinH `  K ) `  W
) (  ._|_  `  Q
) )  =  (
Base `  U )
)
6562, 64eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( Base `  U
) )
6665adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  Q ) )  =  ( Base `  U
) )
6752, 66eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( Base `  U ) )
6867ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) ) )
6933, 68jcad 533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  -> 
( v  e.  (
Base `  U )  /\  ( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) ) ) )
7069reximdv2 2938 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( Base `  U
)  \  { ( 0g `  U ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  U ) `  { v } )  ->  E. v  e.  (
Base `  U )
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) ) )
7130, 70mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  (
Base `  U )
( ( LSpan `  U
) `  ( (  ._|_  `  Q )  u. 
{ v } ) )  =  ( Base `  U ) )
724, 5, 1dvhlvec 36312 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
73 dochsatshp.y . . . 4  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
742, 27, 9, 73islshp 34182 . . 3  |-  ( U  e.  LVec  ->  ( ( 
._|_  `  Q )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  (  ._|_  `  Q )  =/=  ( Base `  U
)  /\  E. v  e.  ( Base `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  (
(  ._|_  `  Q )  u.  { v } ) )  =  ( Base `  U ) ) ) )
7572, 74syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  Q
)  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  ( LSubSp `  U )  /\  (  ._|_  `  Q
)  =/=  ( Base `  U )  /\  E. v  e.  ( Base `  U ) ( (
LSpan `  U ) `  ( (  ._|_  `  Q
)  u.  { v } ) )  =  ( Base `  U
) ) ) )
7612, 26, 71, 75mpbir3and 1179 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   {csn 4033   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   0gc0g 14711   LSSumclsm 16525   LModclmod 17381   LSubSpclss 17447   LSpanclspn 17486   LVecclvec 17617  LSAtomsclsa 34177  LSHypclsh 34178   HLchlt 34553   LHypclh 35186   DVecHcdvh 36281   DIsoHcdih 36431   ocHcoch 36550  joinHcdjh 36597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34162
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-0g 14713  df-poset 15449  df-plt 15461  df-lub 15477  df-glb 15478  df-join 15479  df-meet 15480  df-p0 15542  df-p1 15543  df-lat 15549  df-clat 15611  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-lsm 16527  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-drng 17267  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-lvec 17618  df-lsatoms 34179  df-lshyp 34180  df-oposet 34379  df-ol 34381  df-oml 34382  df-covers 34469  df-ats 34470  df-atl 34501  df-cvlat 34525  df-hlat 34554  df-llines 34700  df-lplanes 34701  df-lvols 34702  df-lines 34703  df-psubsp 34705  df-pmap 34706  df-padd 34998  df-lhyp 35190  df-laut 35191  df-ldil 35306  df-ltrn 35307  df-trl 35361  df-tgrp 35945  df-tendo 35957  df-edring 35959  df-dveca 36205  df-disoa 36232  df-dvech 36282  df-dib 36342  df-dic 36376  df-dih 36432  df-doch 36551  df-djh 36598
This theorem is referenced by:  dochsatshpb  36655  dochsnshp  36656  dochpolN  36693  lclkrlem2c  36712  lclkrlem2e  36714  mapdordlem2  36840
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