Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsat0 Structured version   Unicode version

Theorem dochsat0 35198
Description: The orthocomplement of a kernel is either an atom or zero. (Contributed by NM, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsat0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsat0.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsat0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsat0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochsat0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochsat0.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochsat0.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochsat0.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsat0.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochsat0  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  A  \/  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem dochsat0
StepHypRef Expression
1 dochsat0.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dochsat0.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 dochsat0.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dochsat0.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
5 dochsat0.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 dochsat0.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
7 dochsat0.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 dochsat0.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 dochsat0.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dochkrsat 35196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  A ) )
1110biimpd 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  =/=  {  .0.  }  ->  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  A ) )
1211necon1bd 2703 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  e.  A  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  =  {  .0.  }
) )
1312orrd 378 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  A  \/  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {csn 3898   ` cfv 5439   0gc0g 14399  LSAtomsclsa 32715  LFnlclfn 32798  LKerclk 32826   HLchlt 33091   LHypclh 33724   DVecHcdvh 34819   ocHcoch 35088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-riotaBAD 32700
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-undef 6813  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-lsatoms 32717  df-lshyp 32718  df-lfl 32799  df-lkr 32827  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239  df-lvols 33240  df-lines 33241  df-psubsp 33243  df-pmap 33244  df-padd 33536  df-lhyp 33728  df-laut 33729  df-ldil 33844  df-ltrn 33845  df-trl 33899  df-tgrp 34483  df-tendo 34495  df-edring 34497  df-dveca 34743  df-disoa 34770  df-dvech 34820  df-dib 34880  df-dic 34914  df-dih 34970  df-doch 35089  df-djh 35136
This theorem is referenced by:  dochkrsm  35199  mapdval2N  35371  mapdrvallem2  35386
  Copyright terms: Public domain W3C validator