Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochord Structured version   Unicode version

Theorem dochord 36460
Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
doch11.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
doch11.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
doch11.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
doch11.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
doch11.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dochord  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  ( 
._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) )

Proof of Theorem dochord
StepHypRef Expression
1 doch11.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 doch11.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
4 doch11.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
6 doch11.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
84, 5, 6, 7dihrnss 36368 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  Y  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
91, 3, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  Y  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
11 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  X  C_  Y
)
12 doch11.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
134, 5, 7, 12dochss 36455 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
)
142, 10, 11, 13syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
151adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 doch11.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
174, 5, 6, 7dihrnss 36368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
181, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
194, 6, 5, 7, 12dochcl 36443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  ran  I )
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  I )
214, 5, 6, 7dihrnss 36368 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  I
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
221, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
24 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
254, 5, 7, 12dochss 36455 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2615, 23, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
274, 6, 12dochoc 36457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )
281, 16, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
304, 6, 12dochoc 36457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y )
311, 3, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
3231adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
3326, 29, 323sstr3d 3551 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  X  C_  Y
)
3414, 33impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  ( 
._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ran crn 5005   ` cfv 5593   Basecbs 14502   HLchlt 34440   LHypclh 35073   DVecHcdvh 36168   DIsoHcdih 36318   ocHcoch 36437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-riotaBAD 34049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-tpos 6965  df-undef 7012  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-0g 14709  df-poset 15445  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-lsm 16506  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-dvr 17181  df-drng 17246  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-lvec 17597  df-oposet 34266  df-ol 34268  df-oml 34269  df-covers 34356  df-ats 34357  df-atl 34388  df-cvlat 34412  df-hlat 34441  df-llines 34587  df-lplanes 34588  df-lvols 34589  df-lines 34590  df-psubsp 34592  df-pmap 34593  df-padd 34885  df-lhyp 35077  df-laut 35078  df-ldil 35193  df-ltrn 35194  df-trl 35248  df-tendo 35844  df-edring 35846  df-disoa 36119  df-dvech 36169  df-dib 36229  df-dic 36263  df-dih 36319  df-doch 36438
This theorem is referenced by:  dochord2N  36461  dochord3  36462  doch11  36463  dochsordN  36464  dochsatshpb  36542  hdmapoc  37024
  Copyright terms: Public domain W3C validator