Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochn0nv Structured version   Unicode version

Theorem dochn0nv 35032
Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochn0nv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochn0nv.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochn0nv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochn0nv.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochn0nv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochn0nv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochn0nv.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
dochn0nv  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/= 
V ) )

Proof of Theorem dochn0nv
StepHypRef Expression
1 dochn0nv.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dochn0nv.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 dochn0nv.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
5 dochn0nv.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dochn0nv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 dochn0nv.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
83, 4, 5, 6, 7dochcl 35010 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
91, 2, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
103, 4, 7dochoc 35024 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
111, 9, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
12 dochn0nv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
133, 5, 7, 6, 12doch1 35016 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }
)
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }
)
1511, 14eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  V )  <-> 
(  ._|_  `  X )  =  {  .0.  } ) )
163, 5, 6, 7dochssv 35012 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
171, 2, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  V )
183, 4, 5, 6, 7dochcl 35010 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
191, 17, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
203, 4, 5, 6dih1rn 34944 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
211, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
223, 4, 7, 1, 19, 21doch11 35030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  V )  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
2315, 22bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
2423necon3bid 2655 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/= 
V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    C_ wss 3340   {csn 3889   ran crn 4853   ` cfv 5430   Basecbs 14186   0gc0g 14390   HLchlt 33007   LHypclh 33640   DVecHcdvh 34735   DIsoHcdih 34885   ocHcoch 35004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-riotaBAD 32616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-undef 6804  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-0g 14392  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-p1 15222  df-lat 15228  df-clat 15290  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-lvec 17196  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008  df-llines 33154  df-lplanes 33155  df-lvols 33156  df-lines 33157  df-psubsp 33159  df-pmap 33160  df-padd 33452  df-lhyp 33644  df-laut 33645  df-ldil 33760  df-ltrn 33761  df-trl 33815  df-tendo 34411  df-edring 34413  df-disoa 34686  df-dvech 34736  df-dib 34796  df-dic 34830  df-dih 34886  df-doch 35005
This theorem is referenced by:  dochsnnz  35107  dochsatshpb  35109  dochkrsat  35112  dochkrsat2  35113  dochsnkrlem1  35126
  Copyright terms: Public domain W3C validator