Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochn0nv Structured version   Unicode version

Theorem dochn0nv 36578
Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochn0nv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochn0nv.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochn0nv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochn0nv.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochn0nv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochn0nv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochn0nv.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
dochn0nv  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/= 
V ) )

Proof of Theorem dochn0nv
StepHypRef Expression
1 dochn0nv.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dochn0nv.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 dochn0nv.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
5 dochn0nv.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dochn0nv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 dochn0nv.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
83, 4, 5, 6, 7dochcl 36556 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
91, 2, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
103, 4, 7dochoc 36570 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
111, 9, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
12 dochn0nv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
133, 5, 7, 6, 12doch1 36562 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }
)
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }
)
1511, 14eqeq12d 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  V )  <-> 
(  ._|_  `  X )  =  {  .0.  } ) )
163, 5, 6, 7dochssv 36558 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
171, 2, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  V )
183, 4, 5, 6, 7dochcl 36556 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
191, 17, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
203, 4, 5, 6dih1rn 36490 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
211, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
223, 4, 7, 1, 19, 21doch11 36576 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  V )  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
2315, 22bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
2423necon3bid 2725 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/= 
V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481   {csn 4033   ran crn 5006   ` cfv 5594   Basecbs 14506   0gc0g 14711   HLchlt 34553   LHypclh 35186   DVecHcdvh 36281   DIsoHcdih 36431   ocHcoch 36550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34162
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-0g 14713  df-poset 15449  df-plt 15461  df-lub 15477  df-glb 15478  df-join 15479  df-meet 15480  df-p0 15542  df-p1 15543  df-lat 15549  df-clat 15611  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-lsm 16527  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-drng 17267  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-lvec 17618  df-oposet 34379  df-ol 34381  df-oml 34382  df-covers 34469  df-ats 34470  df-atl 34501  df-cvlat 34525  df-hlat 34554  df-llines 34700  df-lplanes 34701  df-lvols 34702  df-lines 34703  df-psubsp 34705  df-pmap 34706  df-padd 34998  df-lhyp 35190  df-laut 35191  df-ldil 35306  df-ltrn 35307  df-trl 35361  df-tendo 35957  df-edring 35959  df-disoa 36232  df-dvech 36282  df-dib 36342  df-dic 36376  df-dih 36432  df-doch 36551
This theorem is referenced by:  dochsnnz  36653  dochsatshpb  36655  dochkrsat  36658  dochkrsat2  36659  dochsnkrlem1  36672
  Copyright terms: Public domain W3C validator