Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochlkr Structured version   Unicode version

Theorem dochlkr 35393
Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochlkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochlkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochlkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochlkr.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochlkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochlkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochlkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochlkr  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )

Proof of Theorem dochlkr
StepHypRef Expression
1 dochlkr.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 dochlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
4 dochlkr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
5 dochlkr.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochlkr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
75, 6, 1dvhlmod 35118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 dochlkr.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
92, 3, 4, 7, 8lkrssv 33104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( Base `  U ) )
10 dochlkr.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
115, 6, 2, 10dochocss 35374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
121, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) ) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
14 dochlkr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
155, 6, 1dvhlvec 35117 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LVec )
177adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
192, 14, 17, 18lshpne 32990 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
) )
2019ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  ( Base `  U ) ) )
212, 14, 3, 4, 15, 8lkrshpor 33115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  ( Base `  U ) ) )
2221ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
) )
23 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  ( Base `  U
) ) )
2423fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
275, 6, 10, 2, 26dochoc1 35369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) )  =  ( Base `  U
) )
2825, 27eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  (
Base `  U )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( Base `  U
) ) )
3022, 29syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) ) )
3130necon1ad 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
)  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
3220, 31syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3332imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
3414, 16, 33, 18lshpcmp 32996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( ( L `
 G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  <->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) ) )
3513, 34mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
3635eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) )
3736, 33jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G )  /\  ( L `  G )  e.  Y ) )
3837ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
39 eleq1 2526 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y  <->  ( L `  G )  e.  Y
) )
4039biimpar 485 . 2  |-  ( ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )
4138, 40impbid1 203 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    C_ wss 3439   ` cfv 5529   Basecbs 14296   LModclmod 17081   LVecclvec 17316  LSHypclsh 32983  LFnlclfn 33065  LKerclk 33093   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086   ocHcoch 35355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-lsatoms 32984  df-lshyp 32985  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237  df-doch 35356
This theorem is referenced by:  dochkrshp  35394  dochkrshp2  35395  mapdordlem1a  35642  mapdordlem2  35645
  Copyright terms: Public domain W3C validator