Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochlkr Structured version   Unicode version

Theorem dochlkr 36814
Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochlkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochlkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochlkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochlkr.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochlkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochlkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochlkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochlkr  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )

Proof of Theorem dochlkr
StepHypRef Expression
1 dochlkr.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 dochlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
4 dochlkr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
5 dochlkr.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochlkr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
75, 6, 1dvhlmod 36539 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 dochlkr.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
92, 3, 4, 7, 8lkrssv 34523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( Base `  U ) )
10 dochlkr.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
115, 6, 2, 10dochocss 36795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
121, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) ) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
14 dochlkr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
155, 6, 1dvhlvec 36538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LVec )
177adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
192, 14, 17, 18lshpne 34409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
) )
2019ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  ( Base `  U ) ) )
212, 14, 3, 4, 15, 8lkrshpor 34534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  ( Base `  U ) ) )
2221ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
) )
23 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  ( Base `  U
) ) )
2423fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
275, 6, 10, 2, 26dochoc1 36790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) )  =  ( Base `  U
) )
2825, 27eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  (
Base `  U )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( Base `  U
) ) )
3022, 29syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) ) )
3130necon1ad 2657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
)  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
3220, 31syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3332imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
3414, 16, 33, 18lshpcmp 34415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( ( L `
 G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  <->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) ) )
3513, 34mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
3635eqcomd 2449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) )
3736, 33jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G )  /\  ( L `  G )  e.  Y ) )
3837ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
39 eleq1 2513 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y  <->  ( L `  G )  e.  Y
) )
4039biimpar 485 . 2  |-  ( ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )
4138, 40impbid1 203 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    C_ wss 3458   ` cfv 5574   Basecbs 14504   LModclmod 17380   LVecclvec 17616  LSHypclsh 34402  LFnlclfn 34484  LKerclk 34512   HLchlt 34777   LHypclh 35410   DVecHcdvh 36507   ocHcoch 36776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-riotaBAD 34386
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-undef 7000  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-0g 14711  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-dvr 17200  df-drng 17266  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486  df-lvec 17617  df-lsatoms 34403  df-lshyp 34404  df-lfl 34485  df-lkr 34513  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-llines 34924  df-lplanes 34925  df-lvols 34926  df-lines 34927  df-psubsp 34929  df-pmap 34930  df-padd 35222  df-lhyp 35414  df-laut 35415  df-ldil 35530  df-ltrn 35531  df-trl 35586  df-tendo 36183  df-edring 36185  df-disoa 36458  df-dvech 36508  df-dib 36568  df-dic 36602  df-dih 36658  df-doch 36777
This theorem is referenced by:  dochkrshp  36815  dochkrshp2  36816  mapdordlem1a  37063  mapdordlem2  37066
  Copyright terms: Public domain W3C validator