Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkrshp Structured version   Unicode version

Theorem dochkrshp 36201
Description: The closure of a kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkrshp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochkrshp.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochkrshp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochkrshp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochkrshp.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochkrshp.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochkrshp.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochkrshp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochkrshp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochkrshp  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )

Proof of Theorem dochkrshp
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G ) )
2 dochkrshp.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dochkrshp.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 dochkrshp.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dochkrshp.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dochkrshp.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochkrshp.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  V ) )
109fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  V
) ) )
112, 4, 3, 5, 7dochoc1 36176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
1210, 11sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
1412, 13eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
1514ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) ) )
1615necon3d 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  =/=  V ) )
17 df-ne 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
18 dochkrshp.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 dochkrshp.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  (LKer `  U )
202, 4, 7dvhlvec 35924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
21 dochkrshp.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
225, 6, 18, 19, 20, 21lkrshpor 33922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  V ) )
2322orcomd 388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  ( L `  G )  e.  Y
) )
2423ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  =  V  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
2517, 24syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  ->  ( L `  G
)  e.  Y ) )
2616, 25syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
2726imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
282, 3, 4, 5, 6, 8, 27dochshpncl 36199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V ) )
291, 28mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  V ) )
3130necon1d 2692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
3212ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V ) )
3332necon3ad 2677 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  -.  ( L `  G )  =  V ) )
3433, 24syld 44 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3531, 34jcad 533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
362, 3, 4, 18, 6, 19, 7, 21dochlkr 36200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
3735, 36sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  e.  Y
) )
382, 4, 7dvhlmod 35925 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
40 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
415, 6, 39, 40lshpne 33797 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V )
4241ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
) )
4337, 42impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588   Basecbs 14490   LModclmod 17312  LSHypclsh 33790  LFnlclfn 33872  LKerclk 33900   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893   ocHcoch 36162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163
This theorem is referenced by:  dochkrshp2  36202  dochkrsat  36270
  Copyright terms: Public domain W3C validator