Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkrshp Structured version   Unicode version

Theorem dochkrshp 34923
Description: The closure of a kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkrshp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochkrshp.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochkrshp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochkrshp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochkrshp.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochkrshp.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochkrshp.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochkrshp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochkrshp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochkrshp  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )

Proof of Theorem dochkrshp
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G ) )
2 dochkrshp.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dochkrshp.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 dochkrshp.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dochkrshp.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dochkrshp.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochkrshp.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
87adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  V ) )
109fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  V
) ) )
112, 4, 3, 5, 7dochoc1 34898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
1210, 11sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V )
13 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
1412, 13eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
1514ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) ) )
1615necon3d 2644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  =/=  V ) )
17 df-ne 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
18 dochkrshp.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 dochkrshp.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  (LKer `  U )
202, 4, 7dvhlvec 34646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
21 dochkrshp.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
225, 6, 18, 19, 20, 21lkrshpor 32642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  V ) )
2322orcomd 389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  ( L `  G )  e.  Y
) )
2423ord 378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  =  V  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
2517, 24syl5bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  ->  ( L `  G
)  e.  Y ) )
2616, 25syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
2726imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
282, 3, 4, 5, 6, 8, 27dochshpncl 34921 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V ) )
291, 28mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V )
3029ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  V ) )
3130necon1d 2645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
3212ex 435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V ) )
3332necon3ad 2630 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  -.  ( L `  G )  =  V ) )
3433, 24syld 45 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3531, 34jcad 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
362, 3, 4, 18, 6, 19, 7, 21dochlkr 34922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
3735, 36sylibrd 237 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  e.  Y
) )
382, 4, 7dvhlmod 34647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
40 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
415, 6, 39, 40lshpne 32517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V )
4241ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
) )
4337, 42impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   ` cfv 5601   Basecbs 15120   LModclmod 18090  LSHypclsh 32510  LFnlclfn 32592  LKerclk 32620   HLchlt 32885   LHypclh 33518   DVecHcdvh 34615   ocHcoch 34884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-riotaBAD 32494
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-undef 7031  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-0g 15339  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-lsm 17287  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-dvr 17910  df-drng 17976  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-lvec 18325  df-lsatoms 32511  df-lshyp 32512  df-lfl 32593  df-lkr 32621  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-llines 33032  df-lplanes 33033  df-lvols 33034  df-lines 33035  df-psubsp 33037  df-pmap 33038  df-padd 33330  df-lhyp 33522  df-laut 33523  df-ldil 33638  df-ltrn 33639  df-trl 33694  df-tendo 34291  df-edring 34293  df-disoa 34566  df-dvech 34616  df-dib 34676  df-dic 34710  df-dih 34766  df-doch 34885
This theorem is referenced by:  dochkrshp2  34924  dochkrsat  34992
  Copyright terms: Public domain W3C validator