Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkrsat2 Structured version   Unicode version

Theorem dochkrsat2 34457
Description: The orthocomplement of a kernel is an atom iff the double orthocomplement is not the vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkrsat2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochkrsat2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochkrsat2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochkrsat2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochkrsat2.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochkrsat2.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochkrsat2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochkrsat2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochkrsat2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochkrsat2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  e.  A
) )

Proof of Theorem dochkrsat2
StepHypRef Expression
1 dochkrsat2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dochkrsat2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 dochkrsat2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dochkrsat2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
6 dochkrsat2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 dochkrsat2.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
8 dochkrsat2.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
91, 3, 6dvhlmod 34111 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 dochkrsat2.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
114, 7, 8, 9, 10lkrssv 32095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11dochn0nv 34376 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  =/=  { ( 0g `  U ) }  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V ) )
13 dochkrsat2.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
141, 2, 3, 13, 7, 8, 5, 6, 10dochkrsat 34456 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  =/=  { ( 0g `  U ) }  <->  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  A ) )
1512, 14bitr3d 255 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   {csn 3971   ` cfv 5525   Basecbs 14733   0gc0g 14946  LSAtomsclsa 31973  LFnlclfn 32056  LKerclk 32084   HLchlt 32349   LHypclh 32982   DVecHcdvh 34079   ocHcoch 34348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-riotaBAD 31958
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-undef 6959  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-0g 14948  df-preset 15773  df-poset 15791  df-plt 15804  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-p0 15885  df-p1 15886  df-lat 15892  df-clat 15954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-cntz 16571  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-drng 17610  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lvec 17961  df-lsatoms 31975  df-lshyp 31976  df-lfl 32057  df-lkr 32085  df-oposet 32175  df-ol 32177  df-oml 32178  df-covers 32265  df-ats 32266  df-atl 32297  df-cvlat 32321  df-hlat 32350  df-llines 32496  df-lplanes 32497  df-lvols 32498  df-lines 32499  df-psubsp 32501  df-pmap 32502  df-padd 32794  df-lhyp 32986  df-laut 32987  df-ldil 33102  df-ltrn 33103  df-trl 33158  df-tgrp 33743  df-tendo 33755  df-edring 33757  df-dveca 34003  df-disoa 34030  df-dvech 34080  df-dib 34140  df-dic 34174  df-dih 34230  df-doch 34349  df-djh 34396
This theorem is referenced by:  dochsnkrlem2  34471  dochkr1  34479  dochkr1OLDN  34480  lcfl3  34495  lcfl8b  34505
  Copyright terms: Public domain W3C validator